Gv : Lương Văn Huy      Trung Tâm Th       Thanh Trì      HN      0969141404  1  TÍCH PHÂN V       PH   N       tr    giúp kì thi THPT Qu   Bài t      trư       nhóm V   File gi      các em xem      Câu 1:   Cho hàm s         y   f   x   xác đ      0;   2                  th               2  2  0  2  2   2   sin   d  4   2                                            f   x   f   x   x   x   . Tích phân        2  0  d       f   x   x   b   A.   4     .   B.   0   .   C.   1   .   D.   2     .  L   Ch   +) Đ     I              2  2  0  2   2   sin   d  4                                      f   x   f   x   x   x   . Ta có   I              2  2   2  0  2   2   sin   2 sin   d  4   4                                                              f   x   f   x   x   x   x  2  2  0  2 sin   d  4                          x   x   I        2  2  0  2 sin   d  4                                      f   x   x   x  2  2  0  2 sin   d  4                          x   x  +) Có  2  2  0  2 sin   d  4                          x   x  2  0  1   os   2   d  2                                      c   x   x        2  0  1   sin 2   d           x   x   2  0  1   cos2  2   |                      x   x   2  2      +) Mà    I   2  2     suy ra        2  2  0  2 sin   d   0  4                                         f   x   x   x   (1).  +) Áp d        f   x   liên t     trên đo    ;         a b   thì       d   0    b  a  f   x   x   .  D    "   "    x          0  f   x   v    ;         x   a b   .  T    (1) suy ra         2 sin   0  4                        f   x   x   hay         2 sin   4                     f   x   x   .  +)   Do đó        2  0  d        f   x   x  2  0  2 sin   d  4                          x   x   2  0  2cos   4   |                      x   0    . Ch   Câu 2.   (Đ    Cho hàm s        f   x   có đ          0;1           th         1   0  f   ,        1   2  0  d   7                f   x   x   và        1  2  0  1  d   3      x f   x   x   .   Tích phân        1  0  d    f   x   x  b   A.   7  5   .   B .   1   .   C.   7  4   .   D.   4   .Gv : Lương Văn Huy      Trung Tâm Th       Thanh Trì      HN      0969141404  2  L   Ch   +) Đ         2  d   3   d               u   f   x  v   x   x       3  d   d                  u   f   x   x  v   x   , khi đó                    1   1  1  2   3   3  0  0   0  3   d   .   d          x f   x   x   x   f   x   x   f   x   x  +) Ta có              1  3  0  1   1   d         f   x   f   x   x   suy ra        1  3  0  d   1        x   f   x   x   .  +) Áp d                            2  2   2  d   d .   d                               b   b   b  a   a   a  f   x g x   x   f   x   x   g   x   x   . D   "   "    x               f   x   kg x   v    k   là h   Ta   có        2  3  1   d                           b  a  x f   x   x         2  6   d .   d                   b   b  a   a  x   x   f   x   x  1  7  0  7   7  x   1    .   D    "   "    x    ra   khi        3      f   x   kx   v    k   là h          1  3  0  d   1        x   f   x   x   hay  1  6  0  d   1     kx   x   suy   ra   7  k   .  +) V          3  7     f   x   x   nên         4 7  4      f   x   x   c   mà       1   0  f   nên             4 7   1  4      f   x   x   suy ra       1  0  7  d   5      f   x   x   .   Ch   Câu 3.   Cho   hàm s        f   x   có           0;1           th    m        0   1  f   và                         1   1  2  0   0  1  2   d   3   d  9                             f   x f   x   x   f   x   f   x   x   .   Tích phân        1  3  0  d    f   x   x   b   A.   5  4   .   B.   3  2   .   C.   8  5   .   D.   7  6   .  L   Ch   +)                              2  2   2  d .   d   d                                b   b   b  a   a   a  f   x   x   g   x   x   f   x g x   x   . D   "   "    x               f   x   kg x   v    k   là h   +)   Ta có                          2  1   1   1  2  0   0   0  d .   d   d                                   x   f   x   f   x   x   f   x f   x   x   (1) nên t                          1   1  2  0   0  1  2   d   3   d   3                      f   x f   x   x   f   x   f   x   x                 2  1  0  1  3   d   3                            f   x f   x   x

Bài tập tích phân vận dụng cao có lời giải chi tiết – Lương Văn Huy

TOANMATH.com   Trang 1  CHUYÊN ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG  BÀI 1: NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM  Mục tiêu     Kiến thức  +   Nắm được định nghĩa nguyên hàm; các tính chất của nguyên hàm và bảng nguyên hàm cơ bản.  +   Nắm vững các phương pháp tính nguyên hàm.     Kĩ năng  +   Hiểu rõ định nghĩa và tính chất của nguyên hàm để vận dụng vào việc tìm nguyên hàm  +   Sử dụng thành thạo bảng nguyên hàm và các phương pháp tìm nguyên hàm.  +   Vận dụng nguyên hàm vào các bài toán thực tế.TOANMATH.com   Trang 2  I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM     Ví dụ:         3   F x   x   là một nguyên hàm của hàm  số         2  3  f   x   x   vì       '  3   2  3  x   x  Cho hàm số       f   x   xác định trên   K (K   là khoảng, đoạn  hay nửa khoảng). Hàm   số       F x     nguyên   hàm   của   hàm   số       f   x   trên   K   nếu            '    F   x   f   x   với mọi    x   K   .     Nhận xét:   Nếu       F x   và       G   x   cùng là nguyên  hàm của hàm số       f   x   trên   K   thì:               '   '   ,     F   x   G   x   x   K   .                   F x   G   x   C   , với C là hằng số nào    Giả sử hàm số       F x   là một nguyên hàm của hàm số      F   x   trên   K.   Khi đó:     Với mỗi hằng số C, hàm số          F x   C   cũng là  một nguyên hàm của       f   x   trên   K .     Ngược lại, với mỗi nguyên hàm của       f   x   trên  K   thì   tồn   tại   một   hằng   số   C   sao   cho                G   x   F   x   C   với   mọi    x   K   .   Do           ,        F   x   C C   là họ tất cả các nguyên hàm  của       f   x   trên   K.   Ký   hiệu                   f   x dx   F   x   C   .  Tính chất   Ví dụ 1:            2 sin   3cos   2 sin   3 cos  2   cos   3sin   2 cos   3sin                                     x   x dx   xdx   xdx  x   x   C   x   x   C  Ví dụ 2:  1   1   ln 3   1  3   1   3              dx   x   C  x  Nếu             , f   x   g x   là hai hàm số liên tục trên K thì:  a)             '          f   x dx   f   x   C  b)                  kf   x dx   k   f   x dx   , với   k   là hai số thực khác 0.  c)                                               mf   x   ng   x   dx   m   f   x dx   n   g   x dx   với  m,n   là hai số thực khác 0.  d)   Với   ,       a b   và   0  a   ta   có:             1               f   ax   b dx   F ax   b   C  a   , ở đó       F x   là một  nguyên hàm của       f   x   .  Sự tồn tại nguyên hàm     Mọi hàm số       f   x   liên tục trên   K     nguyên hàm trên   K .

Bài giảng nguyên hàm và phương pháp tìm nguyên hàm

NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VI  T NAM  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc  PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN T  NG PH  N  T  O CÁC LƯ  NG TRI  T TIÊU  D       n   a nh    Gi  i    t Nam  do t h  y L    ng ph    tr   T rong quá trình d  y và h  c v    bài toán tích phân, chú ng ta có r  t nhi  u cách tính tích phân  như đ  i bi  n, t  ng ph  n...Tuy nhiên khi đ  ng trư  c m  t bài toán   không ph  i lúc nào chúng ta cũng  th  y luôn đi  u đó,     c bi  t nh  ng bài toán c  ng k  nh và hình th  c ph  c t  p . M  c dù cách x    lý l  i  h  t s  c đơn gi  n ,   xu  t phát t    nh  ng th    r  t g  n gũi và thân quen mà b  n thân chũng ta l  i không  ng      n.   T    th  c t    kinh nghi  m gi  ng d  y cũng như như c  u   h  c t  p c  a các em h  c sinh, BQT  xin đưa ra m  t hư  ng làm nh    v    bài toán tích phân :   Phương pháp tích phân t  ng ph  n t  o  lư  ng tri  t tiêu .  C    s    c  a phương pháp chính là s    d  ng tích phân     c h  c trong chương trình sách giáo  khoa và đ  nh nghĩa c  a tích phân.  I.   PHƯƠNG PHÁP  1.   Phương pháp tích phân t  ng ph  n  Tính tích phân (   )   (   )  .  b a  I   u x   v   x dx  =     Cách tính:    t (   ) (   ) (   ) (   )  u   u   x   du   u   x dx dv   v   x dx   v   v x   =   =               =   =          Khi đó (   )  .   .  b b a a  I   u v   v du =         (công th  c tích phân t  ng ph  n)  Chú ý:  +   C  n ph  i l  a ch  n u   và dv   h  p lí sao cho ta d    dàng tìm đư  c   v   và tích phân b a  vdu    d    tính hơn b a  udv    .  +   V  i ( ) P x   là hàm đa th  c ta có chú ý trong   các trư  ng h  p sau ( ).  b   x a  P x e dx  ( ).cos  b a  P x   xdx  ( ).sin  b a  P x   xdx  ( ). n  b a  P x l   xdx   u   P(x)   P(x)   P(x)   lnx  dv x  e dx cos   xdx sin   xdx   P(x)  2.   Xét bài toán:   Tính tích phân (   )  b a  I   f   x dx =      , ta có th    gi  i v  i m  t cách như sau:  +   Ta đưa I   v    d  ng (   )   (   )   (   )   ( )  1   2   1  b   b   b a   a   a  I   f   x dx   f   x dx   f   x dx =   =   +       NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VI  T NAM  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc  + T a   s    d  ng phương pháp tích phân t  ng ph  n đ    tính (   )  1  b a  f   x dx        d  ng (   )   (   )  1   2  b   b a   a  f   x dx   A   f   x dx =         . Thay vào ( )  1   ta tính đư  c I   A =  V  n đ    là ta l  a ch  n vi  c tách (   )   (   )   (   )  1   2 f   x   f   x   f   x =   +   sao cho vi  c s    d  ng phương pháp tích phân t  ng  ph  n        (   )  1  b a  f   x dx    t  o ra   tích phân (   )  2  b a  f   x dx     .  II.   CÁC BÀI T  P ÁP D  NG  Câu 1.   Cho 2  1   1   d ln   ln   ln 2 2  e   a x   be x   x     =                     v  i , a b   là các s    nguyên. M  nh đ    nào dư  i đây đúng?  A. 2 a   b =   .   B. 2 a   b =   .   C. 4 a   b +   =   .   D. 6 a   b +   =   .  L  i gi  i  Ch  n A  +   Tính 1   2 2   2 2   2   2  1   1   1   1 d   d   d ln   ln   ln   ln  e   e   e  x   x   x   I   I x   x   x   x                     =      =   +                                          + 2 2  1   d ln  e  I   x x  =      theo t  ng ph  n, đ  t 2  1   1 d   d ln   .ln d   d  u   u   x x   x   x v   x   v   x       =   =     =         =   =       suy ra 2 2  1   d ln  e  I   x x  =     = 1 2 ln  e  x   I x      = 1  2 ln 2  e   I      Nên 1   2 2   2 2   2   2  1   1   1   1 d   d   d ln   ln   ln   ln  e   e   e  x   x   x   I   I x   x   x   x                     =      =   +                                           = 2 ln 2  e     V  y 2;   1 a   b = −   = −   .  Nh  n xét:   Bài toán đã tách s  n nên chúng ta ch    c  n tích phân t  ng ph  n   tích phân th    nh  t đ   t  o ra lư  ng là đ  i c  a tích phân còn l  i.  Câu 2.   Cho 2 1  1 ln   ln  e   ae x   e I   e   x   x   x   c x   b      =   +   =   +             d   v  i , , a b c      . Tính T   a   b   c =   +   +   .  A. 2    .   B. 2   .   C. 4    .   D. 4   .  L  i gi  i  Ch  n D  Ta có 2   2   2   2 1   1   1  1   1 ln   ln   ln   ln  e   e   e x   x   x M   N  I   e   x   x   x   e   x x   e   x   x x   x      =   +   =   +                 d   d   d  L  i có (   )   (   )  2   2   2   2   2   2   2 1   1   1  1   1   1 ln   ln   ln   ln 1 2   2  e   e   e x   x   x   x e N   e   x   x   e   x   e   x   x   e x      =   =   =                    d   d   d 2   2   2   2   2 1  1   1 ln   ln 1 2   2  e x   x   e e e   x   e   x x   e   M =      =       d  .  Suy ra 2   2 1   1 2   2  e   e  I   M   N   M   e   M   e      =   +   =   +      =           .  Do đó 2,   0 a   b   c =   =   =   . V  y 4 T   a   b   c =   +   +   =   .

Phương pháp tích phân từng phần tạo các lượng triệt tiêu

A.   KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.     Cho   f   là hàm số liên tục trên đoạn   [ ; ]. a b   Giả sử   F   là một nguyên hàm của   f   trên   [ ; ]. a b   Hiệu số ( )   ( ) F b   F a       a      b   (hay tích phân xác định trên đoạn   [ ; ] a b   của hàm số ( ), f   x   kí hiệu là   ( )d .  b a f   x   x   Ta dùng kí hiệu   ( )   ( )   ( )  b a F x   F b   F a          ( )   ( ) F b   F a    . Vậy   ( )d   ( )   ( )   ( )  b   b a a f   x   x   F x   F b   F a           .  Nhận xét :   Tích phân của hàm số   f   từ   a      b   có thể kí hiệu bởi   ( )d  b a f   x   x    hay   ( )d .  b a f t   t    Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào   f   và các cận   a ,   b   mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.   :   Nếu hàm số   f   liên tục và không âm trên đoạn   [ ; ] a b   thì tích phân ( )d  b a f   x   x    là diện tích   S   của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số   ( ) y   f   x    , trục O x   và hai đường thẳng   ,   . x   a x   b       Vậy   ( )d .  b a S   f   x   x      2.   Tính chất của tích phân  1.   ( )d   0  a a f   x   x      2.   ( )d   ( )d  b   a a   b f   x   x   f   x   x       3.   ( )d   ( )d   ( )d  b   c   c a   b   a f   x   x   f   x   x   f   x   x              (   a   b   c       ) 4.   .   ( )d   .   ( )d   (   )  b   b a   a k f   x   x   k   f   x   x   k             5.   [   ( )   ( )]d   ( )d   ( )d  b   b   b a   a   a f   x   g x   x   f   x   x   g x   x                 .     Lưu ý:  1)       f   x   là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn       ; a a    ,   0 a      thì 0 ( )d   2   ( )d  a   a a f   x   x   f   x   x         2)       f   x   là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn       ; a a    ,   0 a      thì   ( )d   0  a a f   x   x      CHUYÊN ĐỀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH GIÁ TRỊ CỦA TÍCH PHÂN   KHI BIẾT MỘT HAY NHIỀU TÍCH PHÂN VỚI ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC3)       f   x   là hàm số liên tục, tuần hoàn với chu kì T thì ( )d  a   T a f   x   x      0 ( )d  T f   x   x       2 2 ( )d ,  T T f   x   x   a   R            B.   BÀI TẬP Câu 1.   Cho hàm số       f   x   có đạo hàm liên tục trên   0; 2                  thỏa mãn       0   0 f     và              2   2 2 0   0 d   sin   d   4  f   x   x   xf   x   x                          . Tính tích phân        2 0 d f   x   x      .  Lời giải  Bằng công thức tích phân từng phần ta có                   2   2 2 0 0   0 sin   d   cos   cos   d xf   x   x   xf   x   x f   x   x                           . Suy ra        2 0 cos   d   4  x f   x   x           . Hơn nữa ta tính được 2   2   2 2 0   0   0 1   cos 2   2   sin 2 cos   d   d 2   4   4  x   x   x x x   x                                     . Do đó                   2   2   2   2 2   2 2 0   0   0   0 d   2. cos   d   cos   d   0   cos   d   0 f   x   x   x f   x   x   x x   f   x   x   x                                                             . Suy ra         cos     f   x   x   , do đó         sin     f   x   x   C   . Vì       0   0 f      nên   0  C   . Ta được        2   2 0   0 d   sin   d   1 f   x   x   x x              .  Câu 2.   Cho hàm số       f   x   có đạo hàm liên tục trên       0;1   thỏa mãn,       1   0 f      ,                   1   1   2 2 0   0 1 d   1   d   4  x   e f   x   x   x   e f   x   x                             . Tính tích phân        1 0 d f   x   x    .  Lời giải  Bằng công thức tích phân từng phần ta có                         1   1 0   0 1   d   d x   x  x   e f   x   x   f   x   xe                          1   1 0 0 d x   x xe f   x   xe f   x   x                1 0   d x xe f   x   x        . Suy ra         2 1 0 1 d   4  x   e xe f   x   x            . Hơn nữa ta tính được       1   1 2   2   2 0   0 d   d x   x xe   x   x e   x        2   1 4  e        . Do đó                    1   1   1   2 2 0   0   0 d   2   d   d   0 x   x f   x   x   xe f   x   x   xe   x                                1   2 0 d   0 x f   x   xe   x                    . Suy ra             x  f   x   xe   , do đó             1        x f   x   x   e   C   .

Tính giá trị của tích phân khi biết một hay nhiều tích phân với điều kiện cho trước

Trần Sĩ Tùng   Bài tập   Tích phân  Trang   1  TP 1: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ  Dạng 1: Tách phân thức  Câu 1. x I   dx x   x  2   2 2 1   7   12             I   dx x   x  2 1  16   9 1   4   3                            =     x   x   x   2 1 16 ln   4   9 ln   3             = 1   25ln2   16ln3       .  Câu 2. dx I   x   x  2 5   3 1            Ta có: x x x   x   x   x 3   2   3   2  1   1   1 (   1)   1               I   x   x x  2 2  2 1   1   3   1   3 ln   ln(   1)   ln 2   ln 5 2   2   2   8 1 2                                     Câu 3. x I   dx x   x   x  5   2 3   2 4  3   1 2   5   6                 I   2   4   13   7   14 ln   ln   ln 2 3   3   15   6   5          Câu 4. xdx I   x  1 0   3  (   1)            Ta có: x   x   x   x x   x  2   3 3   3  1   1   (   1)   (   1) (   1)   (   1)                           I   x   x   dx  1   2   3 0  1 (   1)   (   1)   8                                Dạng 2: Đổi biến số  Câu 5. x I   dx x  2 4  (   1) (2   1)             Ta có: x   x f x   x   x  2  1   1   1 ( )   .   . 3   2   1   2   1                                               x I   C x  3  1   1 9   2   1                     Câu 6.          x I   dx x  99 1 101 0  7   1 2   1              x   dx   x   x I   d x   x   x x  99   99 1   1 2 0   0  7   1   1   7   1   7   1 2   1   9   2   1   2   1 2   1                                                                          x x  100 100 1   1   7   1   1 1   2   1 0 9 100   2   1   900                                    Câu 7. x I   dx x  1 2   2 0  5 (   4)             t   x 2   4       I   1 8    Câu 8. x I   dx x  1   7 2 5 0   (1   )             t   x   dt   xdx 2  1   2             t I   dt t  2   3 5   5 1  1   (   1)   1   1 . 2   4 2       Bài tập Tích phân   Trần Sĩ Tùng  Trang   2  Câu 9. I   x   x   dx  1   5   3 6 0  (1   )           dt   t   t t   x   dt   x dx   dx   I   t   t dt x  1   7   8 3   2   6 2   0  1   1   1 1   3   (1   ) 3   3   7   8   168 3                                                   Câu 10. I   dx x x  4   3 4 1  1 (   1)             t   x 2     t I   dt t   t  3 2 1  1   1   1   3 ln 2   4   2 1                         Câu 11. dx I   x   x  2 10   2 1   .(   1)          x   dx I   x   x  2   4 5   10   2 1  . .(   1)          . Đặt t   x 5     dt I   t t  32 2   2 1  1 5   (   1)         Câu 12. x I   dx x   x  2   7 7 1  1 (1   )           x   x I   dx x   x  2   7   6 7   7 1  (1   ). .(1   )           . Đặt t   x 7      t I   dt t   t  128 1  1   1 7   (1   )         Câu 13. dx I   x   x  3 6   2 1   (1   )             x   t  1     t I   dt   t   t   dt t   t  3 1 6 3   4   2 2   2 1   3 3  1 1 1   1                                      = 117   41 3 135   12        Câu 14. x I   dx x  2   2001 2 1002 1  . (1   )          x I   dx   dx x   x   x   x  2   2 2004 3   2 1002   1002 1   1   3 2  1 .   . (1   )   1   1                             . Đặt t   dt   dx x   x 2   3  1   2 1             .  Cách 2 : Ta có: x   xdx I   x   x  1   2000 2 2000   2 2 0  1   .2 2   (1   )   (1   )             . Đặt t   x   dt   xdx 2  1   2             t I   dt   d t   t t   t  1000 2   2 1000 1000 2   1001 1   1  1   (   1)   1   1   1   1 1   1 2   2   2002.2                                                    Câu 15. x I   dx x  2   2 4 1  1 1             Ta có: x   x x   x   x  2   2 4   2 2  1 1 1 1 1             . Đặt t   x   dt   dx x   x 2  1   1 1                             dt I   dt t   t t  3   3 2   2 2 1   1  1   1   1 2   2   2   2 2                                 t t  3 1   2   1   2   1 .ln   ln 2 2   2   2   2   2   2   1 1                               

21 bài tập Tích phân hàm số hữu tỉ có lời giải – Trần Sĩ Tùng

Trần Sĩ Tùng   Bài tập   Tích phân  Trang   43  TP6: TÍCH PHÂN HÀM SỐ ĐẶC BIỆT  Câu 1.   Cho hàm số   f(x)   liên tục trên R và f x   f   x   x 4  ( )   (   )   cos          với mọi   x    R.  Tính: I   f x dx  2 2  ( )            .         t   f x dx   f   t   dt   f   t dt   f   x dx  2   2   2   2 2   2   2   2  ( )   (   )(   )   (   )   (   )                                                  f x dx   f x   f   x   dx   xdx  2   2   2   4 2   2   2  2   ( )   ( )   (   )   cos                                         I   3 16     Chú ý: x   x   x 4   3   1   1 cos   cos2   cos 4 8   2   8           .  Câu 2.   Cho hàm số   f(x)   liên tục trên R và f x   f   x   x ( )   (   )   2   2cos2             ,   với mọi   x    R.  Tính: I   f x dx  3 2 3 2  ( )            .     Ta có : I   f x dx   f x dx   f x dx  3   3 0 2   2 0 3   3 2   2  ( )   ( )   ( )                           (1)  +   Tính : I   f x dx  0 1 3 2  ( )           . Đặt x   t   dx   dt       I   f   t dt   f   x dx  3   3 2   2 1 0   0  (   )   (   )                    Thay vào (1) ta được :     I   f   x   f x   dx   x   x dx  3   3   3 2   2   2 0   0   0  (   )   ( )   2 1   cos2   2   cos                                     xdx   xdx  3 2   2 0 2  2   cos   cos                                       x   x 2 0  3 2 2 sin   sin   6 2                                      Câu 3. x I   dx x   x  4 2 4  sin 1            Bài tập Tích phân   Trần Sĩ Tùng  Trang   44   I   x   xdx   x   xdx   I   I  4   4 2 1   2 4   4  1   sin   sin                             +   Tính I   x   xdx  4   2 1 4  1   sin             . Sử dụng cách tính tích phân của hàm số lẻ, ta tính được I 1   0    .  +   Tính I   x   xdx  4 2 4  sin            . Dùng   pp   tích phân từng phần, ta tính được: I 2  2   2 4        Suy ra: I   2   2 4         .  Câu 4.          5 2  3   2   1 1   1  x x  e   x   x I   dx e   x   x                                                     5   5   5   5 2   2   2   2  3   2   1   1   1   2   1   2   1 1   1   1   1   1   1                                                                         x   x   x   x x   x   x  e   x   x   e   x   x   e   x   e   x I   dx   dx   dx   dx e   x   x   e   x   x   e   x   x           5   5 2   2  5   2   1   2   1 3 2   1(   1   1)   1(   1   1)                                     x   x x   x  e   x   e   x x   dx   dx x   e   x   x   e   x       2   1 1   1   2   1                    x x   e   x t   e   x   dt   dx x 5 2  5 2   1   5 2 2 1  2   1 2   2   1 3   3   2ln   3   2ln   1 1                                      e e  e   e I   dt   I   t t   e e  Câu 5. x I   dx x   x   x  2 4 2 0   (   sin   cos   )            .   x   x   x I   dx x   x   x   x  4 2 0  cos . cos   (   sin   cos   )            . Đặt x u   x x   x dv   dx x   x   x   2  cos   cos (   sin   cos   )                    x   x   x du   dx x v   x   x   x  2  cos   sin cos 1 sin   cos                        x   dx I   dx x x   x   x   x  4 4 2 0   0  cos   (   sin   cos   )   cos               = 4 4        .  Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này.  transitung_tv@yahoo.com

5 bài tập Tích phân dạng đặc biệt có lời giải – Trần Sĩ Tùng

ST&BS: Th.S Đ  ng Vi  t Đông THPT Nho Quan A   Nguyên Hàm   - Tích Phân và    ng D  ng   T : 0978064165   -   Email:   dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com   Trang   1  Facebook: https://www.facebook.com/dongpayST&BS: Th.S Đ  ng Vi  t Đông THPT Nho Quan A   Nguyên Hàm   - Tích Phân và    ng D  ng   T : 0978064165   -   Email:   dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com   Trang   2  Facebook: https://www.facebook.com/dongpay  NGUYÊN HÀM  A   -   KI  N TH  C CHUNG  1 -   Nguyên hàm      Cho hàm s        f   x   xác đ     K   (   K   là kho          F   x      g            f   x   trên   K   n              ' F   x   f   x    v    x   K    .     +   N        F   x   là m            f   x   trên   K   thì v    C   , hàm s             G x   F   x   C       c            f   x   trên   K   .  +   N        F   x   là m            f   x   trên   K   thì m          f   x   trên   K      d        F   x   C    , v    C   là m   Do đó         , F   x   C C          là h          f   x   trên   K   . Ký hi              x f   x d   F   x   C        .  +   Tính ch    Tính ch                  x f   x d   f   x         và             '   x f   x d   f   x   C       Tính ch              x   x kf   x d   k   f   x d        v    k   là h    0   .  Tính ch                          x   x   x f   x   g   x   d   f   x d   g x d                        2   -   S        M          f   x   liên t     K        K   .  3   -   B         Nguyên hàm c        Nguyên hàm c             u   u x   x d   x   C        u d   u   C           1 1  x   1  1  x d   x   C                            1 1  u   1  1  u d   u   C                       1   x   ln d   x   C  x          1   u   ln d   u   C  u         2  1   1  x d   C  x   x         2  1   1  du   C  u   u        x x   x  e d   e   C        u u   u  e d   e   C           x   0,   1  ln  x  x   a  a d   C a   a  a                   u   0,   1  ln  u  u   a  a d   C a   a  a              sin   dx   cos x x   C        sin   du   cos u u   C       cos xdx   sin   x   C        cos udu   sin   u   C       2  1   x   tan  cos   d   x   C  x          2  1   u   tan  cos   d   u   C  u         2  1   x   cot  sin   d   x   C  x          2  1   u   cot  sin   d   u   C  u         4      B   

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng (dành cho học sinh Yếu – TB) – Đặng Việt Đông

Luyenthitracnghiem.vn   174   BÀI T  P   TÍCH PHÂN TRONG Đ    THI TH    -   201 9  https://www.facebook.com/ viet gold   Trang 1  Luyenthitracnghiem.vn   N guy  n Hoàng Vi  t  N  I DUNG   Trang  PH    .....................................................................................................................................................2  M    NH  N BI  T   ..........................................................................................................................2  M    THÔNG HI  U  .......................................................................................................................8  M    V  N D  NG TH  P   ..............................................................................................................9  M    V  N D  NG CAO   ..............................................................................................................27  B  ........................................................................................................................................29  PH  N L  I GI  I ........................................................................................................................................30  M    NH  N BI  T   ........................................................................................................................30  M    THÔNG HI  U  .....................................................................................................................42  M    V  N D  NG TH  P   ............................................................................................................46  M    V  N D  NG CAO   ..............................................................................................................96  BÀI TOÁN   T  NG H  P  NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN  T RONG CÁC Đ    THI TH    2019Luyenthitracnghiem.vn   174   BÀI T  P   TÍCH PHÂN TRONG Đ    THI TH    -   201 9  https://www.facebook.com/ viet gold   Trang 2  Luyenthitracnghiem.vn   N guy  n Hoàng Vi  t  PH  N Đ   M    NH  N BI  T  Câu 1:   (Lý Thái T    - B  c Ninh - KSGV - 2019)   M    nào sau đây sai?  A. ( )   ( ) kf   x dx   k   f   x dx        v  i m  i h  ng s  k   và v  i m  i hàm s  ( ) f   x   liên t  c trên   .  B. ( )   ( ) f   x dx   f   x   C           v  i m  i hàm s  ( ) f   x   có đạ o hàm trên   .  C.      ( )   ( )   ( )   ( ) f   x   g x   dx   f   x dx   g x dx                 v  i m  i hàm s  ( ),   ( ) f   x   g x   liên t  c trên   .  D.      ( )   ( )   ( )   ( ) f   x   g x   dx   f   x dx   g x dx                 v  i m  i hàm s  ( ),   ( ) f   x   g x   liên t  c trên   .  Câu 2:   (Lý Thái T    - B  c Ninh - KSGV - 2019)   Giá tr    c  a 2 0  sin   xdx       b  ng  A.   0.   B.   1.   C.   -1.   D. 2     .  Câu 3:   (Lương Thế   Vinh - Hà N  i - HK1 - 2019)   Tìm nguyên hàm c  a hàm s       cos 6 . f   x   x   A. cos 6   6sin 6 xdx   x   C        .   B. 1 cos 6   sin 6 6  xdx   x   C        .  C. 1 cos 6   sin 6   . 6  xdx   x   C        D. cos 6   sin 6 xdx   x   C        .  Câu 4:   (Lê Văn Hưu   - Thanh Hóa - L  n 1 - 2019)   H    nguyên hàm c  a hàm s       ( )   e   3   e x   x  f   x          là:  A. 1 ( )   3e   e  x x  F x   C          .   B. ( )   3e x  F x   x   C          .  C. ( )   3e   e ln e x   x   x  F x   C          .   D. ( )   3e x  F x   x   C          .  Câu 5:   (Lê Văn Hưu   - Thanh Hóa - L  n 1 - 2019)   Tích phân      2 0  4   3 x   dx     cho k  t qu    b  ng?  A. 5   .   B. 2   .   C. 4   .   D. 7   .  Câu 6:   (Lê Văn Hưu   - Thanh Hóa - L  n 1 - 2019)   Nguyên hàm c  a hàm s       3   3   2 f   x   x   x         là hàm s    nào trong các hàm s    sau?  A.      2  3   3 F x   x   x   C          .   B.      4 2  3   2 3  x F   x   x   x   C             .  C.      4   2  3   2 4   2  x   x F   x   x   C             .   D.      4   2  2 4   2  x   x F   x   x   C             .  Câu 7:   (Lê Văn Hưu   - Thanh Hóa - L  n 1 - 2019)   Cho hàm s  f   liên t  n      0;6   . N  u      5 1  d   2 f   x   x      và      3 1  d   7 f   x   x       thì      5 3  d f   x   x    có giá tr    b  ng:  A. 5   .   B. 5    .   C. 9   .   D. 9    .

174 bài toán nguyên hàm, tích phân trong các đề thi thử THPTQG 2019 môn Toán

TÍCH   PHÂN   HÀM    N   NĂM H  C   2019      2020  Trên con đư  ng thành công không có d  u chân c  a nh  ng k    lư  i bi  ng    Trang   1   HOCMAI.VN   LUYENTHITRACNGHIEM.VN  Câu 1:   Cho hàm s  ( ) f x   th  a mãn 2 2 (2)   ;   '( )   2   ( )   ,   . 9  f   f   x   x   f x   x                    . Giá tr    c  a (1) f   là   . 35 36     .   . 2 3     .   . 19 36     .   . 2 5     .  L  i gi  i  Ch  n B  Cách 1 :   Ta có: 2   2 2   2  '( )   '( )   1 '( )   2   ( )   2   2   (x) ( )   ( )  f   x   f   x f   x   x   f x   x   dx   xdx   x   C f f x   f x                                                              2 (2)   9 2  1   1 ( )   2  f  f x   C x   C                .V  y 2  1   2 ( )   (1)   . 1   3 2  f x   f x           Cách 2: 2 2   2 2 2   2 1   1   1  '( )   '( )   1 '( )   2   ( )   2   2   3   3 ( ) ( )   ( ) 2 (1)   . 3  f   x   f   x f   x   x   f x   x   dx   xdx   f x f x   f x f                                                                   Câu 2:   Cho hàm s  ( ) f x   th  a mãn 2 1 (2)   ;   '( )   ( )   ,   . 3  f   f   x   x   f x   x                    . Giá tr    c  a (1) f   là   . 11 6     .   . 2 3     .   . 2 9     .   . 7 6     .  L  i gi  i  Ch  n B  Cách 1 Ta có: 2 2 2   2  '( )   '( )   1 '( )   ( )   (x)   2 ( )   ( )  f   x   f   x   x f   x   x   f x   x   dx   xdx   C f f x   f x                                                              1 (2)   3 2  1 ( )   1 2  f  f x   C x   C                .V  y 2  1   2 ( )   (1)   . 3 1  f x   f x           Cách 2: 2 2   2 2 2   2 1   1   1  '( )   '( )   3   1   2 '( )   ( )   3   (1)   . 2   ( )   3 ( )   ( )  f   x   f   x f   x   x   f x   x   dx   xdx   f f x f x   f x                                                                     Câu 3:   Cho hàm s  ( ) f x   th  a mãn 2 3 1 (2)   ;   '( )   4   ( )   ,   . 25  f   f   x   x   f x   x                    . Giá tr    c  a (1) f   là   . 41 400     .   L  i gi  i  Ch  n B  BÀI T  P   T    P HÂN   HÀM    N  GI  I CHI TI  TTÍCH   PHÂN   HÀM    N   NĂM H  C   2019      2020  Trên con đư  ng thành công không có d  u chân c  a nh  ng k    lư  i bi  ng    Trang   2   HOCMAI.VN   LUYENTHITRACNGHIEM.VN   . 1 10     .   . 391 400     .   . 1 40     .  Cách 1 Ta có: 2 3   3   3   4 2   2  '( )   '( )   1 '( )   4   ( )   4   4   (x) ( )   ( )  f   x   f   x f   x   x   f x   x   dx   x dx   x   C f f x   f x                                                              1 (2)   25 4  1 ( )   9  f  f x   C x   C                .V  y 2  1   1 ( )   (1)   . 10 9  f x   f x           Cách 2: 2 2   2 2 3   3   3 2   2 1   1   1  '( )   '( )   1   1 '( )   4   ( )   4   4   15   3   (1)   . ( )   10 ( )   ( )  f   x   f   x f   x   x   f x   x   dx   x dx   f f x f x   f x                                                                     Câu 4:   Cho hàm s       f   x   th  a mãn      1 2   5  f      và            2 3  ' f   x   x   f   x              v  i m  i x      . Giá tr    c  a   1 f  b  ng   :   . 4 35     .   . 71 20     .   . 79 20     .   . 4 5     .  L  i gi  i  Ch  n D  Ta có                      2 3   3 2  ' '   f   x f   x   x   f   x   x f   x                             (*).  Cách 1: T    (*) suy ra                4 3 2  '   1 4  f   x   x dx   x dx   C f   x f   x                           .                   1 2   5 4   4  1   1   1   1   4 1   1 5   4   5 1 4   4  f  f   x   C   f   x   f C x   x C                                       .  Cách 2: (*) suy ra                   2 2   2 3 2 1   1   1  '   1   15   4 1 4   5  f   x   dx   x dx   f f   x f   x                                                   .  Ch  n đáp án.   .  Câu 5:   Cho hàm s       y   f   x    xác đ  nh và liên t  c trên   th  a mãn đ  ng th  i các đi  u ki  n      0 f   x      v  i  m  i x      ;            2  '   .   , x  f   x   e   f   x   x       và      1 0   2  f      . Tính giá tr    c  a      ln 2 f   .   .      2 ln 2   9  f     .   .      2 ln 2   9  f     .   .      2 ln 2   3  f     .  L  i gi  i  Ch  n D  Bi  n đ  i                                          ln 2 ln 2   ln 2 2 2   2 0   0   1  '   '   1   1 '   .   1   ln 2   3  x   x   x  f   x   f   x f   x   e   f   x   e   dx   e dx   f f   x f   x   f   x                                   Ch  n đáp án.   .

59 bài tập tích phân hàm ẩn có lời giải chi tiết

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam  Chương III  Nguyên Hàm - Tích phân   -   1  Lớp Toá n Thầy      Diệp Tuân  Tel: 0935.660.880  3   NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN -   A - L   THU   T  1.     nh nghĩa.  Cho hàm số     f   x   xác định trên khoảng K   .  Hàm số     F   x        f   x   nế u           ' F   x   f   x    với mọi x   K    .   Ví dụ 1. a).   Tính đạo hàm của hàm số       sin   cos F   x   x   x   x   C          , với C   là hằng số.  b).   Từ đó suy ra sin   d . x   x x   Lời giải ................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. .............................................................................................................   Ví dụ 2. a).   Tính đạo hàm của hàm số       2  ln   1 F   x   x   x   C             , với C   là hằng số.  b).   Từ đó suy ra 2  d   . 1  x x       Lời giải ................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. 2.   Nhận xét.  Nếu     F   x   là một nguyên hàm của     f   x   thì           , F   x   C   C       cũng là nguyên hàm của     f   x   .  Ký hiệu:           d f   x   x   F   x   C        . 3.   Tính chất.                /  d f   x   x   f   x    .                 .   d   .   d   ,   0 K f   x   x   K   f   x   x   K   K             .                       d   d   d f   x   g   x   x   f   x   x   g   x   x                        . 4.   Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp  BÀI 1.   NGUYÊN HÀMTrung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam  Chương III  Nguyên Hàm - Tích phân   -   2  Lớp Toán Thầy      Diệp Tuân  Tel: 0935.660.880  B  ng nguyên hàm  Nguyên hàm cơ b  n   Nguyên hàm m    r  ng d k x   kx   C       , k   là h  ng s       1  d   1 1  x x   x   C                               1  1 d   .   1  ax   b ax   b   x   C a                    1 d   ln x   x   C x        1   1 d   ln x   ax   b   C ax   b   a           d x   x  e   x   e   C      1 d ax   b   ax   b  e   x   e   C a            d   ln  x x   a a   x   C a       d   .ln  mx   n mx   n   a a   x   C m   a           cos   d   sin x x   x   C                 1 cos   d   sin ax   b   x   ax   b   C a             sin   d   cos x x   x   C                 1 sin   d   cos ax   b   x   ax   b   C a             2  1   d   tan cos   x   x   C x                  2  1   1 d   tan cos   x   ax   b   C ax   b   a           2  1   d   cot sin   x   x   C x                  2  1   1 d   cot sin   x   ax   b   C ax   b   a             Ví dụ 3 .   Tìm n guyên hàm của hàm số 2   1 3 y   x   x   x           là  Lời giải ................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................   Ví dụ 4.   Tìm nguyên hàm của hàm số           2   1 d F   x   x   x        , biết  1   5 F      .  Lời giải ................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................. B.   PHÂN DẠNG VÀ   B À   I TẬP MINH HỌA  DẠNG 1.   Tìm họ nguyên hàm của các hàm cơ bản. 1.  Phương pháp.       ng b    tìm.         ch  ng minh     F   x   là   một nguyên hàm của hàm số     f   x   :           ' F   x   f   x   với mọi x   K    .     N  u ki  n     F a   b    thì ta thay , a b   vào h    nguyên hàm v    tìm h  ng s  . C  2.  Bài tập minh họa.   Bài t  p 1 .Tìm h    nguyên hàm c  a các hàm s    sau: a).       2  3   1 f   x   x       b).       2   sin 2 f   x   x   x       c). ( )   3 x  f   x     d).       cos 2 f   x   x    e).     5  ( )   3   1 f   x   x       d).       2   2   1 f   x   x   x         f).       2 2  1   1 3  f   x   x x           g).     sin 2016   2017 d x   x     h).     2  1   d . cos   2   3   x x    

Bài tập nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Diệp Tuân

CÁC K   THU  T X   LÝ  TÍCH PHÂN  L  P TOÁN TH  Y C  - TP HU   S  T: 0834 332133 TOÁN 12 BINH PHÁP L  U HÀNH N  I B BÀI GI  NG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN  L  P TOÁN TH  Y C      . S  T: 0834332133   Page 1  CÁC K    THU  T X    LÝ TÍCH PHÂN  BÀI 2. TÍCH PHÂN   .......................................................................................................................................... 2  A. KI  N TH  C SÁCH GIÁO KHOA C  N N  M   .............................................................................................. 2  B. PHÂN LO  I VÀ PH  NG PHÁP GI  I TOÁN TR  C NGHI  M   ................................................................ 3  Dang 1: Tích phân h  u t   ........................................................................................................................................3  1. Ph  ng pháp   ....................................................................................................................................................3  2. Các ví d    rèn luy  n k    n  ng   ..............................................................................................................................4  3. Bài t  p rèn luy  n t  c     ....................................................................................................................................7  D  ng 2: Tích phân có ch  a c  n th  c ................................................................................................................... 10  1. Ph  ng pháp   ..................................................................................................................................................10  2. Các ví d    rèn luy  n k    n  ng   ............................................................................................................................ 11  3. Bài t  p rèn luy  n t  c     ..................................................................................................................................14  D  ng 3: Tích phân l  ng giác .............................................................................................................................. 18  1. Ph  ng pháp   ..................................................................................................................................................18  2. Các ví d    rèn luy  n k    n  ng   ............................................................................................................................ 20  3. Bài t  p rèn luy  n t  c     ..................................................................................................................................24  D  ng 4: Tích phân t  ng ph  n ............................................................................................................................... 27  1. Ph  ng pháp   ..................................................................................................................................................27  2. Các ví d    rèn luy  n k    n  ng   ............................................................................................................................ 27  3. Bài t  p rèn luy  n t  c     ..................................................................................................................................32  D  ng 5: Tích phân ch  a d  u giá tr    tuy  t    i ...................................................................................................... 38  1. Ph  ng pháp   ..................................................................................................................................................38  2. Các ví d    rèn luy  n k    n  ng   ............................................................................................................................ 39  3. Bài t  p rèn luy  n t  c     ..................................................................................................................................42  D  ng 6: Tích phân siêu vi  t .................................................................................................................................. 44  1. Ph  ng pháp   ..................................................................................................................................................44  2. Các ví d    rèn luy  n k    n  ng   ............................................................................................................................ 44  3. Bài t  p rèn luy  n t  c     ..................................................................................................................................48  D  ng 7: Tích phân hàm    n ................................................................................................................................... 54  1. Ph  ng pháp   ..................................................................................................................................................54  2. Các ví d    rèn luy  n k    n  ng   ............................................................................................................................ 56  3. Bài t  p rèn luy  n t  c     ..................................................................................................................................61  D  ng 8: B  t    ng th  c tích phân .......................................................................................................................... 67  1. Ph  ng pháp   ..................................................................................................................................................67  2. Các ví d    rèn luy  n k    n  ng   ............................................................................................................................ 68  3. Bài t  p rèn luyên t  c     ..................................................................................................................................70

Các kĩ thuật xử lý tích phân – Trần Đình Cư

ST& BS: Th.S Đặ ng Vi  ng THPT Nho Quan A   Tích Phân Hàm    n File Word liên h  : 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com   Trang 1  Facebook: https://www.facebook.com/dongpay   -   Kênh Youtube: Th  ng Vi ST& BS: Th.S Đặ ng Vi  ng THPT Nho Quan A   Tích Phân Hàm    n File Word liên h  : 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com   Trang 2  Facebook: https://www.facebook.com/dongpay   -   Kênh Youtube: Th  ng Vi   M  C L  C  M  T S    D  NG TÍCH PHÂN HÀM    NG G  P   ............................................................. 3  D  NG 1: ÁP D  NG CÁC QUY T  O HÀM C  A HÀM S    H  P  ................................. 3  D  I BI  N   .......................................................................................... 17  TÍCH PHAN HAM    N D  I BI  N D  NG 1:   ............................................................................ 17  TÍCH PHÂN HÀM    I BI  N D  NG 2 :............................................................................. 23  TÍCH PHÂN HÀM    I BI  N D  NG 3  .............................................................................. 25  TÍCH PHÂN HÀM    I BI  N D  NG 5  .............................................................................. 33  TÍCH PHÂN HÀM    I BI  N D  NG 4 : ............................................................................ 35  TÍCH PHÂN HÀM    I BI  N D  NG 4  .............................................................................. 39  D  NG PH  N  ..................................................................................... 40  D    N TÍNH C  P 1  ..................................................... 51

Các dạng tích phân hàm ẩn điển hình – Đặng Việt Đông

GV. L    A NH NH  T  3 GV. L   T  CHUY       NGUY        T    PH        NG D  NG  T        C    TR   N G CHUY    -   2021TÀI LI  U LUY  N THI   L  P 1 2   NGUY     T     TRONG Đ    THI   CHUYÊN   2020 - 2021  L   T      09 68373054      CHĂM CH    THÀNH TÀI   MI  T MÀI   T  T GI  I   1   |   HNT.E  NGUYÊN   HÀM    NH   NGHĨA      TÍNH   CH  T      NGUYÊN   HÀM   CƠ   B  N  Câu 1:   (CHUYÊN     I   H  C   VINH   NĂM   2020 - 2021   L  N   02)   M  nh đ    nào sau đây   sai ?   1   ln dx   x   C x   =   +    .    x   x  e dx   e   C =   +    .   2   1 2  x xdx   C  + =   +    .    sin   cos xdx   x   C =   +    .  Câu 2:   (CHUYÊN   NGUY  N   TRÃI   H  I   DƯƠNG   NĂM   2020 - 2021)   Hàm s  (   )  4   2  3 f   x   x   x =     có h    nguyên hàm là   (   )  3   6   . F   x   x   x   C =      +    (   )   5   3   . F   x   x   x   C =   +   +   (   )  5 3   . 5  x F   x   x   C =   +   +    (   )  5 3   . 5  x F   x   x   C =      +  Câu 3:   (CHUYÊN   NGUY  N   TRÃI   H  I   DƯƠNG   NĂM   2020 - 2021)   H    nguyên hàm c  a  hàm s  (   )  2 x  f   x   e =   là   (   )  2   . x  F   x   e   C =   +    (   )  3   . x  F   x   e   C =   +   (   )  2  2   . x  F   x   e   C =   +    (   )  2 1   . 2  x  F   x   e   C =   +  Câu 4:   (CHUYÊN      HÀ   N  I   NĂM   2020 - 2021)   H    nguyên   hàm   c  a   hàm   s  5   3 y   x =     là:   (   )  3 2   5   3   . 9   x   C    +    2   5   3   . 3   x   C       +    (   )  3 2   5   3   . 9   x   C       +    1   5   3   . 2   x   C    +  Câu 5:   (CHUYÊN   THÁI   BÌNH   NĂM   2020 - 2021   L  N   04)   Cho   hàm   s  (   )  3   2  4   3   2   1 f   x   x   x   x =      +     . Trong các kh  ng đ  nh sau, kh  ng đ  nh nào đúng?   (   )  4   3   2  4 d f   x   x   x   x   x   x   C =      +      +    .    (   )  4   3   2  d f   x   x   x   x   x   x   C =      +      +    .   (   )  4   3   2 1 4  d f   x   x   x   x   x   x   C =      +      +    .    (   )  4   3   2  12   6 d f   x   x   x   x   x   x   C =      +      +    .  Câu 6:   (CHUYÊN   THÁI   BÌNH   NĂM   2020 - 2021   L  N   04)   Cho hàm s  (   )  sin 3 f   x   x =   . Trong  các kh  ng đ  nh sau, kh  ng đ  nh   nào đúng?   (   )  3cos3 d f   x   x   x   C = −   +    .    (   )  3cos3 d f   x   x   x   C =   +    .   (   )  1 cos 3 3  d f   x   x   x   C = −   +    .    (   )  1 cos 3 3  d f   x   x   x   C =   +    .  Câu 7:   (CHUYÊN   NGUY  N   BÌNH   KHIÊM   QU  NG   NAM   NĂM   2020 - 2021)   Cho (   )  F   x   là  m  t nguyên hàm c  a hàm s  (   )  sin 2 f   x   x =   và 1 4  F                 . Tính 6  F                 .   1 6   2  F                 .    5 6   4  F                 .    3 6   4  F                 .    0 6  F                 .

203 bài tập nguyên hàm – tích phân và ứng dụng trong các đề thi thử THPT 2021 môn Toán

 NHÓM WORD – BIÊN SO  N TÀI LI  U   50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020  Trang 731  KI  N TH  C C  N NH  : 1. Các tính ch  t tích phân:                     d   d   d  b   c   b a   a   c  f   x   x   f   x   x   f   x   x              v  i   a   c   b       .                     d   d   0  b   b a   a  k   f   x   x   kf   x   x k                       d   dx  b   a a   b  f   x   x   f   x                                d  b   b a a  f   x   x   F   x   F b   F   a                                       d   d   d  b   b   b a   a   a  f   x   g   x   x   f   x   x   g   x   x                                d   d   d  b   b   b a   a   a  f   x   x   f   t   t   f   z   z                                      d  b   b a a  f   x   x   f   x   f   b   f   a             2. Công th  i bi  n s  :                             .   , f   u x   u   x dx   f   u du u   u x                                               .   ,  u b b a   u a  f   u   x   u   x dx   f   u du u   u x             Phương pháp đổ i bi  n s    thường đượ c s    d      Gi    s    c  n   tính        b a  g   x dx    .   N  u   ta   vi     c       g   x   dướ i   d  ng                 f   u   x   u   x    thì                     u b b a   u a  g   x dx   f   u du        . V  y bài toán quy v    tính                u b u a  f   u du    , trong nhi  ng h  p thì tích phân m  i  này đơn giản hơn   .     Gi    s    c  n tính       f   x dx        . Đặ t    x   x t    th  a mãn             , x a   x b            thì                    b   b a   a  f   x dx   f   x t   x   t dt   g t dt                   , trong đó              . g t   f   x t   x   t    TÍCH PHÂN LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH HÀM ẨN NHÓM WORD – BIÊN SO  N TÀI LI  U   50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020  Trang 732  BÀI T  P M  U  Cho hàm s        f   x   liên t  c trên     a mãn             3   2   10   6  1   2 ,   . xf   x   f   x   x   x   x   x                     Khi đó        0 1  f   x dx       b  ng  A.   17  20     .   B.   13  4     .   C.   17  4   .   D.   1    .  Phân tích hướ ng d  n gi  i  1. D  NG TOÁN:   Tính tích phân hàm    n. ...................................................................................................................................................................  2. KI  N TH  C C  N NH  :   Công th  i bi  n s    trong tích phân:         (   ) (   )  ( ) .   ( ) d   ( ) d  u b b a   u a  f   u x   u   x   x   f u   u             Tính ch  t tích phân:  ( ) d   0  a a  f   x   x      ( ) d   ( ) d   ( ) d  b   c   b a   a   c  f   x   x   f   x   x   f   x   x             ( ) d   ( )   ( )   ( )  b   x   b x   a a  f   x   x   f   x   f b   f a                 ...................................................................................................................................................................  3. HƯỚ NG GI  I: B1:   Nhân c    hai v    c    i   x , r  i s    d  ng tích phân hai v       tính        1 1  d f   x   x       .  B2:   Nhân c    hai v    c    i   x , r  i s    d  ng tích phân hai v       tính        1 0  f   x dx    .  B3:   K  t lu  n        0 1  f   x dx       .  T       th    gi  i bài toán c    th    như sau:  L  i gi  i Ch  n B Cách 1 : Dùng vi phân  Ta có:             3   2   10   6  1   2 , xf   x   f   x   x   x   x   x                   

Tích phân liên quan đến phương trình hàm ẩn

Trang 1/80  CHỦ ĐỀ 2. TÍCH PHÂN  A.   KIẾN THỨC CƠ BẢN  1.     Cho   f   là hàm số liên tục trên đoạn   [ ; ]. a b   Giả sử   F   là một nguyên hàm của   f   trên   [ ; ]. a b   H iệu số  ( )   ( ) F b   F a       a      b   (hay tích phân xác định trên đoạn   [ ; ] a b   của hàm số  ( ), f   x   kí hiệu là   ( )   .  b a f   x dx   Ta dùng kí hiệu   ( )   ( )   ( )  b a F x   F b   F a =         ( )   ( ) F b   F a    .   Vậy   ( )   ( )   ( )   ( )  b   b a a f   x dx   F x   F b   F a =   =       .  Nhận xét :   Tích phân của hàm số   f   từ   a      b   có thể kí hiệu bởi   ( )  b a f   x dx    hay   ( )   .  b a  f t dt    Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào   f   và   các cận   a ,   b   mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.   : Nếu hàm số   f   liên tục và không âm trên đoạn   [ ; ] a b   thì tích phân  ( )  b a f   x dx    là diện tích   S   của hình thang   cong giới hạn bởi đồ thị hàm số   ( ) y   f   x =   , trục O x   và hai đường thẳng   ,   . x   a x   b =   =   Vậy   ( )   .  b a S   f   x dx =     2.   Tính chất của tích phân  1.   ( )   0  a a f   x dx   =    2.   ( )   ( )  b   a a   b f   x dx   f   x dx = −     3.   ( )   ( )   ( )  b   c   c  a   b   a f   x dx   f   x dx   f   x dx +   =          (   a   b   c <   <   ) 4.   .   ( )   .   ( )   (   )  b   b a   a k f   x dx   k   f   x dx   k =           5.   [   ( )   ( )]   ( )   ( )  b   b   b a   a   a  f   x   g x   dx   f   x dx   g x dx    =             .  B.   KỸ NĂNG CƠ BẢN  1.   Một số phương pháp tính tích phân  I.   Dạng 1: Tính tích phân theo công thức  Ví dụ 1:   Tính các tính phân sau:  a)  1 3 0 I   (1   )  dx x  =   +    .   b)  1 0 I   1  x   dx x  =   +    .   c)  1 0 2   9 I   3  x   dx x  + =   +    .   d)  1 2 0 I   4  x   dx x  =       .  Hướng dẫn giải  a)  1 1   1 3   3   2 0   0   0 (1   )   1   3 I   8 (1   )   (1   )   2(1   )  dx   d   x x   x   x  + =   =   = −   = +   +   +       .  b)   (   )  1   1 1 0 0   0 1  I   1   ln(   1)   1   ln 2  1   1  x   dx   dx   x   x x   x      =   =      =      +   =        +   +           .  c)   (   )  1   1   1 0 0   0 2   9   3  I   2   2   3ln(   3)   3   6ln 2   3ln 3  3   3  x   dx   dx   x   x x   x  +       =   =   +   =   +   +   =   +        +   +           .  d)   (   ) 2 1   1   1 2 2   2   0 0   0 4 1   3  I   ln | 4   |   ln  2   4 4   4  d   x x   dx   x x   x   =   = −   =      =           .  Bài tập áp dụng  1) 1 3   4   5 0 I   (   1) x   x   dx =       .   2)   (   )  1 3 0 I   2   1 x   x   dx =   +   +    .Trang   2/80  3) 1 0 I   1 x   xdx =       .   4)  16  0 I   9  dx x   x  =   +       .  II.   Dạng 2: Dùng tính chất cận trung gian để tính tích phân  Sử dụng tính chất   [ ( )   ( )]   ( )   ( )  b   b   b a   a   a  f   x   g x   dx   f   x dx   g x dx +   =   +            Ví dụ 2:   Tính tích phân  2 2  |   1| I   x   dx   =   +    .  Hướng dẫn giải  Nhận xét:   1,   1   2 1   . 1,   2   1  x   x x   x   x  +           +   = −            < −  Do đó  (   )   (   ) 1   2 2   1   2   1   2   2   2 2   2   1   2   1   2   1  |   1|   |   1|   |   1|   1   1   5.  2   2  x   x I   x   dx   x   dx   x   dx   x   dx   x   dx   x   x                                    =   +   =   +   +   +   = −   +   +   +   = −   +   +   +   =                                   Bài tập áp dụng  1) 3 2 4  |   4 | I   x   dx   =       .   2) 2 3   2 1  |   2   2 | I   x   x   x   dx   =         +    . 3) 3 0  | 2   4 | x I   dx =       .   4)   2 2  2 | sin   | I   x dx     =      .   5) 0  1   cos 2 I   xdx   =   +    .  III.   Dạng 3: Phương pháp đổi biến số  1)     Cho hàm số   f   liên tục trên đoạn   [ ; ]. a b   Giả sử hàm số   ( ) u   u x =   có đạo hàm   liên tục trên đoạn  [ ; ] a b   và   ( )   . u x          Giả sử có thể viết   ( )   ( ( ))   '( ),   [ ; ], f   x   g u x   u   x   x   a b =      với   g   liên tục trên đoạn  [   ;   ].     Khi đó, ta có  ( ) (   ) ( )   ( )   .  u b b a   u a  I   f   x dx   g u du =   =      Ví dụ 3:   Tính tích phân   2   2 0  sin   cos I   x   xdx   =      .  Hướng dẫn giải     sin   . u   x =   Ta có   cos   . du   xdx =      0   (0)   0;   1. 2   2  x   u   x   u          =      =   =      =          Khi đó  1 2   2   2   3 0   0 1 1   1  sin   cos   .  0 3   3  I   x   xdx   u du   u   =   =   =   =      Bài tập áp dụng  1) 1 2 0 1 I   x   x   dx =   +    .   2) 1 3 0 1 I   x   x   dx =   +    . 3) 1  1   ln  e   x I   dx x  + =      .   4) 2  2   2   ln  e e dx I   x   x  =   +    .  Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân  Dấu hiệu   Có thể đặt   Ví dụ  1   Có   ( ) f   x   ( ) t   f   x = 3 3 0   1  x dx I   x  =   +    . Đặt   1 t   x =   +

Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân

Trang 1/34  CHỦ ĐỀ 1. NGUYÊN HÀM  KIẾN THỨC CƠ BẢN  I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT  1. Nguyên hàm     Cho hàm số   (   ) f   x   xác định trên   K   (   K   là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số   (   ) F   x     (   ) f   x   trên   K   nếu   (   )   (   ) ' F   x   f   x =   với mọi   x   K    .    1) Nếu   (   ) F   x   là một nguyên hàm của hàm số   (   ) f   x   trên   K   thì với mỗi hằng số   C   , hàm số  (   )   (   ) G x   F   x   C =   +   cũng là một nguyên hàm của   (   ) f   x   trên   K   .  2) Nếu   (   ) F   x   là một nguyên hàm của hàm số   (   ) f   x   trên   K   thì mọi nguyên hàm của   (   ) f   x   trên   K    có dạng   (   ) F   x   C +   , với   C   là một hằng số.  Do đó   (   )   , F   x   C C +         là họ tất cả các nguyên hàm của   (   ) f   x   trên   K   . Ký hiệu   (   )   (   ) f   x dx   F   x   C =   +    .  2. Tính chất của nguyên hàm  Tính chất 1:   (   ) (   )   (   ) f   x dx   f   x      và   (   )   (   ) ' f   x dx   f   x   C =   +   Tính chất 2:   (   )   (   ) kf   x dx   k   f   x dx =       với   k   là hằng số khác   0   .  Tính chất 3:   (   )   (   )   (   )   (   ) f   x   g   x   dx   f   x dx   g   x dx    =                    3. Sự tồn tại của nguyên hàm     Mọi hàm số   (   ) f   x   liên tục trên   K      K   .  4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp  Nguyên hàm của hàm số sơ cấp   Nguyên hàm của hàm số hợp   (   ) (   ) u   u   x =  dx   x   C =   +    du   u   C =   +   (   ) 1 1   1 1  x dx   x   C     =   +        (   ) 1 1   1 1  u du   u   C     =   +      1   ln dx   x   C x   =   +    1   ln du   u   C u   =   +   x   x e dx   e   C =   +    u   u e du   e   C =   +   (   ) 0,   1 ln  x x   a a dx   C a   a a  =   +   >       (   ) 0,   1 ln  u u   a a du   C a   a a  =   +   >      sin   cos xdx   x   C = −   +    sin   cos udu   u   C = −   +   cos   sin xdx   x   C =   +    cos   sin udu   u   C =   +  2 1   tan  cos   dx   x   C x   =   +    2 1   tan  cos   du   u   C u   =   +  2 1   cot sin   dx   x   C x   = −   +    2 1   cot sin   du   u   C u   = −   +   II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM  1. Phương pháp đổi biến số     Nếu   (   )   (   ) f   u du   F u   C =   +    và   (   ) u   u   x =   là hàm số có đạo hàm liên tục thì  (   ) (   )   (   )   (   ) (   ) ' f   u   x   u   x dx   F u   x   C =   +   Hệ quả:   Nếu   (   ) 0 u   ax   b a =   +      thì ta có   (   )   (   )  1  f   ax   b dx   F   ax   b   C a  +   =   +   +   2. Phương pháp nguyên hàm từng phần     Nếu hai hàm số   (   ) u   u   x =   và   (   ) v   v x =   có đạo hàm liên tục trên   K   thìTrang 2/34  (   )   (   )   (   )   (   )   (   )   (   ) '   ' u   x v   x dx   u   x v x   u   x v x dx =         Hay  udv   uv   vdu =         A.   KỸ NĂNG CƠ BẢN  -   Tìm nguyên hàm bằng phương pháp biến đổi trực tiếp.  -   Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.  -   Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần.  B.   BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM  Câu 1.   Nguyên hàm của hàm số   (   )   3   3   2 f   x   x   x =   +   +   là hàm số nào trong các hàm số   sau?  A.   (   )   4   2 3   2 4   2  x   x F   x   x   C =   +   +   +   .   B.   (   )   4 2 3   2 3  x F   x   x   x   C =   +   +   +   .  C.   (   )   4   2 2 4   2  x   x F   x   x   C =   +   +   +   .   D.   (   )   2 3   3 F   x   x   x   C =   +   +   .  Hướng dẫn giải : Sử dụng bảng nguyên hàm.  Câu 2.   Hàm số   (   )   3   2 5   4   7   120 F   x   x   x   x   C =   +      +   +   là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây?  A.   (   )   2 15   8   7 f   x   x   x =   +      .   B.   (   )   2 5   4   7 f   x   x   x =   +   +   .  C.   (   )   2   3   2 5   4   7 4   3   2  x   x   x f   x   =   +      .   D.   (   )   2 5   4   7 f   x   x   x =   +      .  Hướng dẫn giải : Lấy đạo hàm của hàm số   (   ) F   x   ta được kết quả.  Câu 3.   Họ nguyên hàm của hàm số:   2   1 3 y   x   x   x  =      +   là  A.   (   )   3 2 3   ln  3   2  =      +   +  x F   x   x   x   C   .   B.   (   )   3 2 3   ln  3   2  =      +   +  x F   x   x   x   C   .  C.   (   )   3 2 3   ln  3   2  =   +   +   +  x F   x   x   x   C   .   D.   (   )   2 1 2   3 =         + F   x   x   C x   .  Hướng dẫn giải : Sử dụng bảng nguyên hàm.  Câu 4.   Tìm nguyên hàm của hàm số   (   )   (   )(   ) 1   2 f   x   x   x =   +   +  A.   (   )   3 2 3   2 3   2  =   +   +   +  x F   x   x   x   C   .   B.   (   )   3 2 2   2 3   3  =   +   +   +  x F   x   x   x   C   .  C.   (   )   2   3 =   +   + F   x   x   C   .   D.   (   )   3 2 2   2 3   3  =      +   +  x F   x   x   x   C   .  Hướng dẫn giải :   (   )   (   )(   )   2 1   2   3   2 f   x   x   x   x   x =   +   +   =   +   +   . Sử   d   Câu 5.   Nguyên hàm   (   ) F   x   của hàm số   (   )   2 2   2   3 5   2  f   x   x   x   x  =   +   +    là hàm số nào?  A.   (   )   3  ln 5   2   2 ln F   x   x   x   C x  = −      +      +   .   B.   (   )   3  ln 5   2   2 ln F   x   x   x   C x  = −      +   +   +   .  C.   (   )   3  ln 5   2   2 ln F   x   x   x   C x  =      +      +   .   D.   (   )   3  ln 5   2   2 ln F   x   x   x   C x  = −         +   +   .  Hướng dẫn giải:   Sử dụng bảng nguyên hàm.  4.1.2. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.  Câu 6.   Tìm nguyên hàm của hàm số   ( )   sin 2 f   x   x =  A.   1  sin 2   cos 2  2  xdx   x   C = −   +    .   B.   1  sin 2   cos 2  2  xdx   x   C =   +    .  C.   sin 2   cos 2 xdx   x   C =   +    .   D.   sin 2   cos 2 xdx   x   C = −   +    .  Hướng dẫn giải   1   1  sin 2   sin 2   (2 )   cos 2  2   2  xdx   xd   x   x   C =   = −   +       .

Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm nguyên hàm

1  GROUP NHÓM TOÁN  NGÂN HÀNG ĐỀ   THI TR  C NGHI  M  CHUYÊN ĐỀ   : TÍCH PHÂN VÀ    NG D  NG     S    01  C©u 1 :   Hàm s    nào dư  i đây không là nguyên hàm c  a hàm s  2  (2   ) ( )   (   1)  x   x f x   x        A. 2   1 1  x   x x         B. 2   1 1  x   x x         C. 2   1 1  x   x x         D. 2  1  x x     C©u 2 :   Cho       th    hàm s  ( ) y   f x    . Di  n tích hình ph  ng (ph  n g  ch trong hình) là:  A. 0   0 3   4  ( )   ( ) f x dx   f x dx           B. 1   4 3   1  ( )   ( ) f x dx   f x dx          C. 3   4 0   0  ( )   ( ) f x dx   f x dx           D. 4 3  ( ) f x dx      C©u 3 :   Di  n tích hình ph  ng gi  i h  n b  i các đ    th  : 2   2 y   x   x       và 2  y   x   x       có k  t qu    là:  A.   12   B. 10 3   C. 9   D.   6  C©u 4 :   K  t qu    nào sai trong các k  t qu    sao?  A. 1   1  2   5   1   2 10   5.2 .ln 2   5 .ln 5  x   x x   x   x  dx   C                    B. 4   4 3   4  2   1 ln   4  x   x   dx   x   C x   x                   C. 2 2  1   1 ln 2   1 1  x   x dx   x   C x x               D. 2  tan   tan xdx   x   x   C          C©u 5 :   Th    tích v  t th    tròn xoay khi quay hình ph  ng gi  i h  n b  i các đư  ng            1   x 2   2  y   x .e   , x   1 , x   2 , y   0  quanh tr  c ox là:2  A. 2  (e   ) e        B. 2  (e   ) e        C. 2  e     D. e    C©u 6 :   Th    tích v  t th    tròn xoay khi quay hình ph  ng gi  i h  n b  i các đư  ng            4 y   , y   0 , x   1 , x   4 x  quanh tr  c ox là:  A. 6     B. 4     C. 12     D. 8    C©u 7 :  Giá tr    c  a 4 4 2 0  1 (1   tan   ) . cos  x   dx x        b  ng:  A. 1 5   B. 1 3   C. 1 2   D. 1 4  C©u 8 :   N  u ( )   5  d a  f x dx       ; ( )   2  d b  f x dx       , v  i a   d   b       thì ( )  b a  f x dx    b  ng:  A. 2    B. 3   C. 8   D. 0  C©u 9 :   Hàm s  2  ( )   ln  x x  e e  f x   t   tdt         t c  c đ  i t  i ? x     A. ln 2    B. 0   C. ln 2   D. ln 4   C©u 10 :  Cho tích phân 2  2 sin   3 0  .sin   cos x  I   e   x   xdx          . N  u đ  i bi  n s  2  sin t   x    thì  A. 1 0  1   (1   ) 2  t  I   e   t dt        B. 1   1 0   0  2   t   t  I   e dt   te dt                        C. 1 0  2   (1   ) t  I   e   t dt        D. 1   1 0   0  1 2  t   t  I   e dt   te dt                        C©u 11 :   Di  n tích hình ph  ng gi  i h  n b  i hai đư  ng th  ng x = 0, x      và đ    th    c  a hai hàm s    y =  cosx, y = sinx là:  A. 2   2    B.   2   C. 2   D. 2   2  C©u 12 :   Di  n tích hình ph  ng gi  i h  n b  i các đư  ng 2  y   x    ,tr  c Ox và đư  ng th  ng x   2   là:  A.   8   B. 8 3   C.   16   D. 16 3

600 câu hỏi trắc nghiệm chuyên đề tích phân và ứng dụng – Nhóm Toán

LUYỆN THI TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN 2017  LỚP TOÁN THẦY DƢƠNG 76/5 PHAN THANH –   135 NGUYỄN CHÍ THANH     Fb: ThayNguyenDaiDuong      Sdt: 0932589246   1  LUYỆN THI TRẮC NGHIỆM TOÁN  Năm học: 2016 -2017  Giáo viên: Nguyễn Đại Dƣơng  Chuyên Luyện Thi THPT QG 10 –   11      12  Chuyên Luyện Thi Trắc Nghiệm     Phan Thanh      135 Nguyễn Chí Thanh  Hotline: 0932589246  CHINH PH  C GI  I TÍCH 12  TRẮC NGHIỆM  NGUYÊN HÀM  TÀI LIỆU LƢU HÀNH NỘI BỘ  (KHÔNG SAO CHÉP DƢỚI MỌI HÌNH THỨC)LUYỆN THI TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN 2017  LỚP TOÁN THẦY DƢƠNG 76/5 PHAN THANH –   135 NGUYỄN CHÍ THANH           Fb: ThayNguyenDaiDuong      Sdt 0932589246 2

Bài tập trắc nghiệm nguyên hàm – Nguyễn Đại Dương

MỤC LỤC  CHƯƠNG 3   NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG   1  1   NGUYÊN HÀM   1 A   KIẾN THỨC TRỌNG TÂM   1 1   Nguyên hàm và tính chất   1  1.1   Nguyên hàm   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   1 1.2   Tính chất   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   1  2   Phương pháp tính nguyên hàm   1  2.1   Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . .   1 2.2   Phương pháp tính nguyên hàm từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   1 2.3   Bảng nguyên hàm cơ bản   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   2 2.4   Bảng nguyên hàm mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   2  3   Các dạng toán và bài tập   3  3.1   Tính nguyên hàm bằng bảng nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   3 3.1.1   Bài tập vận dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   3 3.2   Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số   . . . . . . . . . . . . . . .   22 3.2.1   Bài tập áp dụng   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   23 3.3   Nguyên hàm từng phần   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   35 3.3.1   Ví dụ và bài tập   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   35  4   Phương pháp đổi biến số   39 B   CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM   39 1   Nhận biết   39  1.1      . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   54  2   Thông hiểu   54  2.1      . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   69  3   Vận dụng thấp   69  3.1      . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   81  4   Vận dụng cao   81  4.1      . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   86  2   TÍCH PHÂN   87 A   KIẾN THỨC TRỌNG TÂM   87 1   Khái niệm tích phân   87  1.1      . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   87 1.2   Tính chất của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   87  2   PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN   87  2.1   Phương Pháp Đổi Biến Số   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   87https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/   Chương 3 - Giải tích 12  2.2   Phương Pháp Tích Phân Từng Phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   88  3   Các dạng toán và bài tập   88  3.1   Tích phân cơ bản và tính chất tính phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   88 3.1.1   Ví dụ và bài tập   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   88 3.2   Tích phân hàm số phân thức hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   93 3.2.1   Ví dụ và bài tập   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   93 3.3   Tính chất của tích phân   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   95 3.3.1   Ví dụ và bài tập   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   96 3.4   Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối  b   a  |   f   ( x )   |   d x   . . . . . . . . . .   107 3.4.1   Ví dụ và bài tập   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   107 3.5   Phương pháp đổi biến số   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   109 3.5.1   Ví dụ và bài tập   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   109 3.6   Tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   140 3.6.1   Ví dụ và bài tập   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   140  B   CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM   150 1   Nhận biết   150  1.1      . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   161  2   Thông hiểu   161  2.1      . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   191  3   Vận dụng thấp   192  3.1      . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   227  4   Vận dụng cao   228  4.1      . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   246  3      247 A   TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG   247 1   Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành   247 2   Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong   247 B   TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY   247 C   Dạng toán và bài tập   248 1   Diện tích hình phẳng và bài toán liên quan   248  1.1   Diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   248 1.2   Tìm vận tốc, gia tốc, quãng đường trong vật lí   . . . . . . . . . . . . . . . .   251  2   Thể tích   254  2.1   Thể tích của vật thể   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   254 2.2   Tính thể tích của vật thể tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   256  Th.s Nguyễn Chín Em   2   https://emncischool.wixsite.com/geogebra

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Nguyễn Chín Em

NHÓM   TOÁN   VD  VDC   Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc   Trang 1  NHÓM TOÁN VD – VDC   NHÓM TOÁNVD – VDC  Chuyên đề:  SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐỂ TÍNH  DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG  I.   MỘT SỐ DẠNG TOÁN  Nội dung các dạng toán xoay quanh bài toán ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng với giả  thiết bài toán cho bởi đồ thị hàm liên quan.  Dạng 1. Sử dụng định nghĩa xác định công thức diện tích.  Dạng 2. Dựa vào các điểm đồ thị đi qua xác định hàm số đi đến công thức tính.  Dạng 3. Dựa vào tâm đối xứng, trục đối xứng của đồ thị xác định hàm số đi đến công thức tính.  Dạng 4. Dựa vào tiếp tuyến của đồ thị xác định hàm số đi đến công thức tính.  Dạng 5. Biến đổi đồ thị đưa về tính toán đơn giản.  Dạng 6. Tính diện tích dựa vào việc chia nhỏ hình.  Dạng 7. Toán thực tế với giả thiết có đồ thị hàm liên quan.NHÓM   TOÁN   VD  VDC   Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc   Trang 2  NHÓM TOÁN VD – VDC   NHÓM TOÁNVD – VDC  II. BÀI TẬP MINH HỌA  1) Dạng 1. Sử dụng định nghĩa xác định công thức diện tích.  Câu 1:   (Đề THPT QG 2019)   Cho hàm số       y   f   x    liên tục trên   .    Gọi   S   là diện tích hình phẳng giới hạn  bởi các đường       ,   0,   1 y   f   x   y   x          và   5 x      (như hình vẽ bên).  y = f(x)  y  x O   5 1 -1  Mệnh đề nào sau đây đúng?  A.  1   5  1   1  ( )d   ( )d S   f x   x   f x   x              .   B.  1   5  1   1  ( )d   ( )d S   f x   x   f x   x              .  C.  1   5  1   1  ( )d   ( )d S   f x   x   f x   x              .   D.  1   5  1   1  ( )d   ( )d S   f x   x   f x   x              .  Lời giải  Chọn C  Ta có           1   5   1   5  1   1   1   1  ( ) d   d   d   d S   f x   x   f   x   x   f   x   x   f   x   x                             .  Câu 2:   Cho đồ thị hàm số   ( ) y   f x    trên   0; 8                như hình vẽ.  ( S 2 )  ( S 1 )   ( S 3 )  y  x O   8 5 3  3  Biểu thức nào dưới đây có giá trị lớn nhất?  A.  1  0  ( ) f x dx    .   B.  3  0  ( ) f x dx    .   C.  5  0  ( ) f x dx    .   D.  8  0  ( ) f x dx    .  Lời giải  Chọn D

Sử dụng tính chất của đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng

Mô tả tài liệu đang được cập nhật...

Bài tập tự luận và trắc nghiệm nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Hồng Đức, Bích Ngọc

Chinh phục nguyên hàm – tích phân từ A đến Z – Nguyễn Hữu Bắc

Biên soạn: Hoàng Phi Hùng   Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng Trang 1  TÍCH PHÂN HÀM ẨN – PHẦN 1  A. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 1.   TÍCH PHÂN CHO BỞI NHIỀU CÔNG THỨC  Ví dụ 1.   Cho hàm số   (   )  2 2  1   0  4   3   0 x  x   x   khi x y   f   x   e   khi x      +   +     =   =            . Biết   (   )  1 2 1  b  f   x dx   ae   c   =       với   *  , , a b c   N    . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức   T   a   b   c =   +   +   .  A.   23   .   B.   27   .   C.   33   .   D.   42   .  Lời giải  Ta có,   (   )   (   )   (   )   (   )  0   1   0   1 2   2   2   2 1   0   1   0  5   25  1   4   3   2   5   2 6   6  x  f   x dx   f   x dx   x   x   dx   e   dx   e   e       +   =   +   +   +      =   +      =                .  2   25   6   33 T    =   +   +   =  Ví dụ 2.   [Đề tham khảo – 2018]   Cho hàm số   (   ) f   x   xác định trên   1  \   2                                   thỏa mãn   2  (   )   2   1  f   x   x     =     ,   (0)   1 f   =   và   (1)   2 f   =   . Giá trị của biểu thức   (   1)   (3) f   f    +   bằng  A.   4   ln 5 +   .   B.   2   ln15 +   .   C.   3   ln15 +   .   D.   ln15. Lời giải Cách 1:   Trên khoảng   1 ; 2          +∞          :   1  2 (   )   ln(2   1)   . 2   1  f   x   dx   x   C  x  =   =      +    Lại có   1 (1)   2   2. f   C =      =     1  ;   2                      :   2  2 (   )   ln(1   2   )   . 2   1  f   x   dx   x   C  x  =   =      +    Lại có   2 (0)   1   1. f   C =      =  Vậy  1  ln(2   1)   2   2 (   )   1 ln(1   2   )   1   2  x   khi x f   x x   khi x          +   >    =         +   <      . Suy ra   (   1)   (3)   3   ln15. f   f    +   =   +  Cách 2:  Ta có:  0   0 0 1 1   1 3   3 3 1 1   1  2   1 (0)   (   1)   '(   )   ln 2   1 |   ln   (1) 2   1   3 2 (3)   (1)   '(   )   ln 2   1 |   ln 5   (2) 2   1  dx f   f   f   x dx   x x dx f   f   f   x dx   x x                   =   =   =      =                 =   =   =      =                  Lấy (2)-(1), ta được   (3)   (1)   (0)   (   1)   ln15   (   1)   (3)   3   ln15 f   f   f   f   f   f       +      =         +   =   +   .  2.   TÍCH PHÂN HÀM ẨN DẠNG 1.     1.   (   )   (   )   (   ) (   ) . f   x   g x   h   f   x    =  2.   (   )   (   ) (   )   (   ) . f   x   h   f   x   g x    =  Phương pháp giải :  1.   (   )  (   ) (   )   (   )   (   ) (   ) (   )   (   )   (   ) (   ) (   )   (   )   ...  f   x   f   x   df   x g x   dx   g x dx   g x dx h   f   x   h   f   x   h   f   x       =      =      =            2.   (   )   (   ) (   )   (   )   (   ) (   )   (   )   (   ) .   ... f   x   h   f   x   dx   g x dx   h   f   x   df   x   g x dx    =      =          Biên soạn: Hoàng Phi Hùng   Nguyên hàm, Tích Phân & Ứng dụng  Trang 2  Chú ý:     1   và   2   bản chất là một ( cô lập các cụm   (   )   (   ) , f   x   f   x    sang một vế).     Ngoài việc nguyên hàm cả hai vế, ta có thể tích phân hai về (tùy cách hỏi)     (   ) f   x    phải để trên tử  Ví dụ 1.   Giả sử hàm số   (   ) y   f   x =   liên tục, nhận giá trị dương trên   (   ) 0;   + ∞   và thỏa mãn   (   ) 1   1 f   =   ,  (   )   (   )   3   1 f   x   f   x   x =      +   , với mọi   0 x   >   . Mệnh đề nào sau đây đúng?  A.   (   ) 4   5   5 f <   <   .   B.   (   ) 2   5   3 f <   <   .   C.   (   ) 3   5   4 f <   <   .   D.   (   ) 1   5   2 f <   <   .  Lời giải  Cách 1:  Với điều kiện bài toán ta có  (   )   (   )   3   1 f   x   f   x   x =      +   (   )  (   )  (   )  (   )  1   1  d   d  3   1   3   1  f   x   f   x   x   x  f   x   f   x x   x          =      =  +   +       (   ) (   )  (   )   (   )   (   )  1 2  d   1   3   1   d 3   1  3  f   x   x   x f   x       =   +   +         (   )   2 ln   3   1  3  f   x   x   C    =   +   +   (   )   2   3   1 3  e   x   C  f   x   + +     =   . Khi đó   ( )   4 3   4  1   1   e   1   3  C  f   C  +  =      =      = −   (   )   2   4  3   1  3   3  e   x  f   x   + −     =   (   )   (   )  4 3  5   e   3,79   3; 4 f    =         . Vậy   (   ) 3   5   4 f <   <   .  Cách 2:  Với điều kiện bài toán ta có  (   )   (   )   3   1 f   x   f   x   x =   +    (   )  (   )  1  3   1  f   x f   x   x       =   +  (   )  (   )  5   5 1   1  1  d   d  3   1  f   x   x   x  f   x   x     =   +         (   ) (   )  (   )  5 1  d   4  3  f   x f   x     =    (   )   5 1  4  ln   3  f   x    =   (   )  (   )  5   4  ln   1   3  f f     =   (   )   (   )   (   )  4 3  5   1 .e   3,79   3; 4 f   f    =         .  Ví dụ 2.   Cho   (   ) f   x   xác      có      hàm,   liên   tục   và      biến   trên   [   ] 1;4   thỏa   mãn  (   )   (   )   [   ]   ( )  2   3  2   ,   1;4 ,   1   2  x   xf   x   f   x   x   f      +   =         =       . Giá trị   (   ) 4 f   bằng:  A.   391  18   B.   361  18   C.   381  18   D.   371  18  Lời giải  Biến đổi:  (   )   (   )   2  2 x   xf   x   f   x      +   =         (   ) (   )   (   )   2  1   2 x   f   x   f   x         +   =        (   )  (   )  (   )  (   )  2  1   2   1   2  f   x   f   x  x   x  f   x   f   x                 =      = +   +   .  (   )  (   )  4   4 1   1 1   2  f   x   dx   xdx  f   x       = +        (   )   4 1  14  1   2   3  f   x    +   =  ( )   ( )  14   391  1   2   4   2   4  3   18  f   f    +      =      =   .  Ví dụ 3.   Cho   (   ) f   x   không âm thỏa mãn điều kiện   2  (   ).   '(   )   2   (   )   1 f   x   f   x   x   f   x =   +   và   (0)   0 f   =   . Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số   (   ) y   f   x =   trên   [   ] 1;3   là  A.   22   B.   4   11   3 +   C.   20   2 +   D.   3 11   3 +  Lời giải  Biến đổi:

Chuyên đề tích phân hàm ẩn – Hoàng Phi Hùng

TÀI LIỆU VD-VDC TRÍCH TỪ CÁC ĐỀ THI THỬ TNTHPT 2020 Facebook Nguyễn Vương    https://www.facebook.com/phong.baovuong   Trang 1 PHẦN 1. NGUYÊN HÀM Câu 1.   (Chuyên Lam Sơn - 2020)   Cho       f   x   và       g   x   là hai hàm số liên tục và có một nguyên hàm lần lượt   là         2019 F   x   x       ,         2   2020 G x   x       .   Tìm   một   nguyên   hàm       H   x   của   hàm   số                  . h x   f   x   g   x    , biết    1   3 H      .  A.         3   3 H x   x       .   B.         2   5 H   x   x       .   C.         3   1 H   x   x       .   D.         2   2 H   x   x       .  Câu 2.   (Chuyên Thái Bình - 2020)   Giả sử             2   x F   x   ax   bx   c e          là một nguyên hàm của hàm số        2   x f   x   x e    . Tính tích   P   abc    .  A.   4 P      .   B.   1 P      .   C.   5 P      .   D.   3 P      .  Câu 3.   (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho hàm số       y   f   x     tục trên      thỏa mãn                  2 .   , x f   x   f   x   e   x                và       0   2 f      . Khi đó       2 f   thuộc khoảng nào sau đây?  A.       12;13 .   B.       9;10 .   C.       11;12 .   D.       13 14 ;   .  Câu 4.   (Chuyên   Thái   Bình   -   2020)   Cho   hàm   số       y   f   x    thỏa   mãn         4 2   19  f      và            3   2  f   x   x f   x   x             . Giá trị của    1 f   bằng  A.   2 3     .   B.   1 2     .   C.   1    .   D.   3 4     .  Câu 5.   (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2020)   Cho hàm số   trên   và   là một nguyên hàm của   thỏa mãn   . Biết   thỏa mãn   . Tính giá trị biểu thức   .  A.   .   B.   .   C.   .   D.   .  Câu 6.   (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020)   Cho hàm số       y   f   x    liên tục trên       \   1;0     thỏa mãn     1   2 ln 2 f      và                     2 .   1 . x   x   f   x   f   x   x   x              . Biết       2   .ln 3 f   a   b       (   a   ,   b       ). Giá trị       2   2 2   a   b    là  A.   27 4   .   B.   9   .   C.   3 4   .   D.   9 2   .  Câu 7.   (Yên Lạc 2 - Vĩnh Phúc - 2020)   Gọi       F   x   là một nguyên hàm của hàm số         2   x f   x      , thỏa mãn        1 0   ln 2  F      . Tính giá trị biểu thức                      0   1   2   ...   2019 T   F   F   F   F                .  A.  2020 2   1 ln 2  T       .   B.  2019 2   1 1009.   2  T       .   C.   2019.2020 2 T      .   D.  2019 2   1 ln 2  T       .  TUYỂN CHỌN CÂU HỎI VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO TỪ CÁC ĐỀ THI THỬ TRÊN CẢ NƯỚC NĂM 2020 CHƯƠNG 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 69 CÂU HỎI VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO        2 cos  x  f   x   x     ; 2   2                         F   x     . x f   x        0   0 F      ; 2   2 a                         tan   3 a           2 10   3 T   F   a   a   a        1 ln10 2     1 ln10 2 1 ln10 4     ln10TỔNG HỢP: NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương      https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Câu 8.   (Hải Hậu - Nam Định - 2020)   Cho hàm số       y   f   x    thỏa mãn         0,   0 f   x   x          và có đạo hàm      f   x    liên tục trên khoảng       0;      thỏa mãn                   2 2   1   ,   0 f   x   x   f   x   x                và      1  1   2  f      . Giá trị của biểu thức                1   2   ...   2020 f   f   f          bằng  A.   2020 2021     .   B.   2015 2019     .   C.   2019 2020     .   D.   2016 2021     .  Câu 9.   (Trường VINSCHOOL -   2020)   Cho hàm số       f   x   xác định trên       \   1;1 R      thỏa mãn        2 1 '   1  f   x   x        .   Biết          3   3   4 f   f          và   1   1   2 3   3  f   f                                        .   Giá   trị   của   biểu   thức                  5   0   2 f   f   f          bằng  A.   1 5   ln 2 2     .   B.   1 6   ln 2 2     .   C.   1 5   ln 2 2     .   D.   1 6   ln 2 2     .  PHẦN 2. TÍCH PHÂN Câu 10.   (Chuyên   Biên   Hòa   -   Hà   Nam   -   2020)   Cho hàm số   ( ) f   x   liên tục trên       1;2    và thỏa mãn điều kiện       2 ( )   2   3 f   x   x   xf   x             . Tích phân 2 1 ( ) I   f   x dx         bằng  A.   14 3  I      .   B.   28 3  I      .   C.   4 3  I      .   D.   2 I      .  Câu 11.   (Chuyên   Biên   Hòa   -   Hà   Nam   -   2020)   Cho hàm số       f   x   liên tục trên      và thỏa mãn       1 5 d   9 f   x   x       . Tích phân        2 0 1   3   9 d f   x   x                bằng  A.   15   .   B.   27   .   C.   75   .   D.   21   .  Câu 12.   (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An -2020)   Cho       f   x   là hàm số có đạo hàm liên tục trên       0;1   và     1  1   18  f      ,        1 0 1 .   d   36  x f   x   x        . Giá trị của        1 0 d f   x   x    bằng  A.   1 12     .   B.   1 36   .   C.   1 12   .   D.   1 36     .  Câu 13.   (Chuyên   Hưng   Yên   -   2020)   Cho   hàm   số       f   x   liên   tục   trên          0;1   thỏa   mãn            2   2  4 .   3   1   1 x f   x   f   x   x             . Tính        1 0 d I   f   x   x       .  A.   4     .   B.   16     .   C.   20     .   D.   6     .  Câu 14.   (Chuyên KHTN - 2020)   Cho hàm số        y   f   x   biết         1  0   2   f   và         2       x f   x   xe   với mọi       x   . Khi đó        1 0     xf   x dx   bằng  A.   1 4   e   .   B.   1 4   e   .   C.   1 2   e   .   D.   1 2   e   .

Bài tập VD – VDC nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 Facebook Nguyễn Vương    https://www.facebook.com/phong.baovuong   Trang 1  A. NGUYÊN HÀM CƠ BẢN  Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý)     0d   . x   C         d   . k   x   kx   C         1 d   . 1  n n   x x   x   C n              1 1 (   ) (   ) d   . 1  n n   ax   b ax   b   x   C a   n                 1   d   ln   . x   x   C x              1   1  d   ln   . x   ax   b   C ax   b   a               2 1   1 d   . x   C x x              2 1   1   1 d   . (   )   x   C a   ax   b ax   b                 sin   d   cos   . x   x   x   C            1  sin(   )d   cos(   )   . ax   b   x   ax   b   C a                 cos d   sin   . x   x   x   C            1  cos(   )d   sin(   )   . ax   b   x   ax   b   C a                 2 1   d   cot   . sin   x   x   C x              2 d   1 cot(   )   . sin (   )  x   ax   b   C a ax   b                2 1   d   tan   . cos   x   x   C x              2 d   1 tan(   )   . cos (   )  x   ax   b   C a ax   b                d   . x   x e   x   e   C            1 d   . ax   b   ax   b e   x   e   C a               d   . ln  x x   a a   x   C a             1 d   . ln  x x   a a   x   C a                         Nhận xét . Khi thay   x   bằng   (   ) ax   b    thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm   1  a     Một số nguyên tắc tính cơ bản     Tích của đa thức hoặc lũy thừa   PP      khai triễn.     Tích các hàm mũ   PP      khai triển theo công thức mũ.     Bậc chẵn của sin và cosin      Hạ bậc:   2   2 1   1   1   1 sin   cos2 ,   cos   cos2 . 2   2   2   2  a   a   a   a               Chứa tích các căn thức của   x   PP      chuyển về lũy thừa.  Câu 1.   Họ nguyên hàm của hàm số         cos   6 f   x   x   x       là  A.   2 sin   3 x   x   C       .   B.   2 sin   3 x   x   C          .   C.   2 sin   6 x   x   C       .   D.   sin   x   C       .  Câu 2.   Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số         2   6 f   x   x       là  A.   2   6 x   x   C       .   B.   2 2 x   C    .   C.   2 2   6 x   x   C       .   D.   2  x   C    .  Câu 3.   Họ tất cả nguyên hàm của hàm số         2   4 f   x   x       là  A.   2 2   4 x   x   C       .   B.   2   4 x   x   C       .   C.   2  x   C    .   D.   2 2 x   C    .  Câu 4.   Họ nguyên hàm của hàm số         e     x f   x   x   là  A.   2 e       x   x   C   .   B.   2 1 e   2      x   x   C   .   C.   2 1   1 e 1   2         x   x   C x   .   D.   e   1     x   C   .  Câu 5.   Nguyên hàm của hàm số         4   2  f   x   x   x       là  NGUYÊN HÀM Vấn đề 13NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương      https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ A.   3 4   2 x   x   C       B.   5   3 1   1 5   3  x   x   C       C.   4   2  x   x   C       D.   5   3  x   x   C       .  Câu 6.   Nguyên hàm của hàm số         3   2  f   x   x   x       là  A.   4   3  x   x   C       .   B.   4   3 1   1 4   3  x   x   C       .   C.   2 3   2 x   x   C       .   D.   3   2  x   x   C       .  Câu 7.   Tìm nguyên hàm của hàm số            cos 3 f   x   x  A.          cos 3   3 sin 3 xdx   x   C   B.          sin 3  cos 3   3  x xdx   C  C.          cos 3   sin 3 xdx   x   C   D.          sin 3  cos 3   3  x xdx   C  Câu 8.   Họ nguyên hàm của hàm số         1   sin f   x   x x        là  A.   ln   cos x   x   C       .   B.   2 1   cos   x   C x           .   C.   ln   cos x   x   C       .   D.   ln   cos x   x   C       .  Câu 9.   Cho biết       F   x   là một nguyên hàm của hàm số       f   x   trên      . Tìm       2   1 d . I   f   x   x               A.       2 I   xF   x   x   C          .   B.       2   1 I   xF   x   C          .   C.       2   1 I   F   x   C          .   D.       2 I   F   x   x   C          .  Câu 10.   Nguyên hàm của hàm số         1 x f   x   e          là  A.   x e   x   C          .   B.   x e   x   C           .   C.   x e   x   C          .   D.   x e   x   C       .  Câu 11.   Tìm nguyên hàm của hàm số         2   1. f   x   x      A.              2 2   1   2   1   . 3  f   x dx   x   x   C              B.              1 2   1   2   1   . 3  f   x dx   x   x   C             C.         1   2   1   . 3  f   x dx   x   C           D.         1   2   1   . 2  f   x dx   x   C          Câu 12.   Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số         sin   e   5 x f   x   x   x          ?  A.         2 5 cos   e   1 2  x F   x   x   x             .   B.         cos   e   5   3 x F   x   x   x             .  C.         2 5  cos   e   2  x F   x   x   x          .   D.         2 e   5  cos   1   2  x F   x   x   x x            .  Câu 13.   Cho         1 d   ln f   x   x   x   C x            ( với   C   là hằng số tùy ý ), trên miền       0;      , chọn khẳng định đúng về hàm số       f   x   .  A.         ln f   x   x   x       .   B.         2 1 x  f   x   x       .  C.         1   ln f   x   x   x x           .   D.         2 1   ln f   x   x x        .  Câu 14.   Nguyên hàm của hàm số         1  f   x   x   x        trên khoảng       0;      là  A.   2 1 1   . C x        B.   1   ln   . x   C       C.   2 2 1   . x   C x        D.  2 ln   . 2  x   x   C      Câu 15.   Tìm nguyên hàm của hàm số         2 e    x  f   x  A.   2   2 e   d   2e        x   x x   C   .   B.   2   2 e   d   e        x   x x   C   .

Tổng ôn tập TN THPT 2020 môn Toán: Nguyên hàm

TÀI LI  U H  C T  P TOÁN 12      CH  NG   BÀI GI  NG: NGUYÊN HÀM      TÍCH PHÂN  ADMIN TR    0977.413.341 - TOÁN H  C B  C      TRUNG      NAM   1 |   THBTN   Khái niệm nguyên hàm và tính chất  1.   Khái niệm nguyên hàm     h   h ( ) f x   h . K   H ( ) F x   g i   nguyên hàm   h ( ) f x  trên K ( )   ( ),   . F   x   f x   x   K     N ( ) F x   g   h ( ) f x   trên K   h   h   nguyên hàm   h ( ) f x  trên K ( )   ( )   ,   . f x   dx   F x   C   const   C  2.   Tính chất   N ( ),   ( ) f x   g x   2 h   i    K   và 0 k   thì ta luôn có: ( )   ( )   . f   x dx   f x   C ( )   ( )   . kf x dx   k   f x dx ( )   ( )   ( )   ( ) f x   g x dx   f x dx   g x dx     m t   hàm thƣ ng g p v   i   C      t y   1  1  x x   dx   C 1  1   (   ) (   )   1  n n   ax   b ax   b   dx   C a   n   1   ln dx   x   C x 1   1   ln dx   ax   b   C ax   b   a   2  1   1  dx   C x x 2  1   1   1 (   )   dx   C a   ax   b ax   b   sin   cos x   dx   x   C 1 sin(   )   cos(   ) ax   b dx   ax   b   C a   cos   sin x   dx   x   C 1 cos(   )   sin(   ) ax   b   dx   ax   b   C a   2  1   cot sin   dx   x   C x 2  1   1 cot(   ) sin (   ) dx   ax   b   C a ax   b   2  1   tan cos   dx   x   C x 2  1   1 tan(   ) cos (   ) dx   ax   b   C a ax   b   x   x  e   dx   e   C 1 ax   b   ax   b  e   dx   e   C a   ln  x x   a a   dx   C a 2   2  1   ln 2  dx   x   a   C a   x   a x   a     Nhận xét. Khi thay x   g (   ) ax   b   h   g   h   h   h 1  a  PH  N 1:   NGUYÊN HÀM VÀ PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN   HÀMTÀI LI  U H  C T  P TOÁN 12   BÀI GI  NG: NGUYÊN HÀM      TÍCH PHÂN  2 |   THBT      CA   GIÁO VIÊN C  N FILE WORD LIÊN H    TH  Y TÀI: 0977.413.341  M t     1.         vữ g   g   g   h   .  2.   Ng   h   h   h   g   hi   h   h   g  h   h   g   g   h   hữ g h   h   h   hầ .  3.   M   g   h   h   h i   h  hữ g h   g   h   v   g   g  h   .  Dạng toán 1.   TÍNH NGUYÊN HÀM         BÀI T  P V  N D  NG  a) 2  ( )   3   2  a f a   a    : 2 3  ( )   . 4  a F a   a   C  ...............................................................................................................  b) 3  ( )   2   5   7. f b   b   b    : 4   2  5 ( )   7   . 2   2  b   b F b   b   C  1.   T   h   hứ   h ặ      hừ   h i   iể .  2.   T   h   h      h i   iể   he        3.   hứ      h      v      hừ .  4.   T   h   g gi      i   v   i   h i   iể   he      h h   h    5.   B  c ch  n c   a sin và cosin   H    b  c.  Phƣơng Pháp  Tìm nguyên hàm c   a các hàm s   gi      i   iệ   h  P ươ   p áp :   Dựa vào bảng nguyên hàm của các hàm số và vận dụng các tính chất  nguyên hàm.  Bài   1

Nguyên hàm và các phương pháp tìm nguyên hàm – Trần Văn Tài

Thsisau@gmail.com      0909517799  Nguyên Hàm   -   T    1  NHẬN BIẾT:  Câu 1 : Nguyên hàm ( ) F x   của 3   2  (   3   5) x   x   dx        là:  A. 2  ( )   3   6 F x   x   x   C          B. 4 3  ( )   4  x F x   x   C         C . 4 3  ( )   5 4  x F x   x   x   C             D. 4   3  ( )   5 4   3  x   x F x   x   C            Câu   2 : Nguyên hàm ( ) F x   của 3 x   dx     là:  A. 3 2 ( )   (   3) 3  F x   x   C          B. 3 1 ( )   (   3) 3  F x   x   C         C. 2 ( )   3 3  F x   x   C          D. 3 3 ( )   (   3) 2  F x   x   C         Câu   3 : Nguyên hàm ( ) F x   của 3   1 x   dx     là:  A. 3 2 ( )   (3   1) 3  F x   x   C          B. 3 2 ( )   (3   1) 9  F x   x   C         C. 2 ( )   3   1 9  F x   x   C          D. 3 1 ( )   (3   1) 3  F x   x   C         Câu   4 : Nguyên hàm ( ) F x   của dx x       2 5   là:  A. 3  (5   2 ) ( )   3  x F x   C         B. 3  (5   2 ) ( )   3  x F x   C        C. 3  (5   2 ) ( )   5  x F x   C         D. 3  2   (5   2 ) ( )   15  x F x   C        Câu   5 : Nguyên hàm ( ) F x   của 1 2   1   dx x       là:  A. 1 ( )   2   1 2  F x   x   C          B. 3 1 ( )   (2   1) 2  F x   x   C         C. 3 1 ( )   (2   1) 3  F x   x   C          D. 3 2 ( )   (2   1) 9  F x   x   C         Câu   6 : Nguyên hàm ( ) F x   của 1 3   1   dx x       là:  A. 2 ( )   3   1 3  F x   x   C          B. 3 2 ( )   (3   1) 3  F x   x   C         C. 1 ( )   3   1 3  F x   x   C          D. 3 2 ( )   (3   1) 9  F x   x   C         Câu   7 : Nguyên hàm ( ) F x   của 4  (3   5) x   dx     là:  A. 5  (3   5) ( )   15  x F x   C         B. 5  (3   5) ( )   3  x F x   C        C. 5  (3   5) ( )   5  x F x   C         D. 5  ( )   15(3   5) F x   x   C       Thsisau@gmail.com      0909517799  Nguyên Hàm   -   T    2  Câu   8 : Nguyên hàm ( ) F x   của 5  1 (2   1)   dx x       là:  A. 4  1 ( )   8(2   1)  F x   C x         B. 6  1 ( )   12(2   1)  F x   C x        C. 5  ( )   ln (2   1) F x   x   C          D. 4  1 ( )   4(2   1)  F x   C x        Câu   9 : Nguyên hàm ( ) F x   của       5  ) 2 3 (   x dx   là:  A. 4  1 ( )   2(3   2 )  F x   C x         B. 4  1 ( )   4(3   2 )  F x   C x        C. 4  1 ( )   8(3   2 )  F x   C x         D. 4  1 ( )   8(3   2 )  F x   C x        Câu   1 0 : Nguyên hàm ( ) F x   của 2   2  (3   2) x   dx     là:  A. 2   3  (3   2) ( )   6  x F x   C         B. 3   3  (   2 ) ( )   6  x   x F x   C        C. 5 3 9 ( )   4   4 5  x F x   x   x   C             D. 5 3 9 ( )   12   4 5  x F x   x   x   C            Câu   1 1 : Nguyên hàm ( ) F x   của 2   3  dx x     là:  A. 2  1 ( )   3 2   2  F x   C x x  =   + -   B. 1 ( )   ln 2   3 2  F x   x   C =   -   +  C. 1 ( )   ln 2   3 3  F x   x   C = -   -   +   D. 1 ( )   ln 2   3 3  F x   x   C =   -   +  Câu   1 2 : Nguyên hàm ( ) F x   của 2  (   2)  dx x       là:  A. ( )   2ln   2 F x   x   C =   -   +   B. 2  ( )   (   2 ).ln   2 F x   x   x   x   C =   -   -   +  C. 1 ( )   2  F x   C x  = -   + -   D. 3  3 ( )   (   2)  F x   C x  =   + -  Câu   1 3 : Nguyên hàm ( ) F x   của 2  (2   3)  dx x       là:  A. ( )   ln 2   3 F x   x   C =   -   +   B. 1 ( )   2(2   3)  F x   C x  = -   + -  C. 1 ( )   2   3  F x   C x  = -   + -   D. 3  3 ( )   2(2   3)  F x   C x  =   + -  Câu   1 4 : Nguyên hàm ( ) F x   của 2  9   6   1  dx x   x        là:  A. 2  ( )   ln 9   6   1 F x   x   x   C =   +   +   +   B. 2 1 ( )   ln 9   6   1 9  F x   x   x   C =   +   +   +  C. 2  1 ( )   9(9   6   1)  F x   C x   x  = -   + +   +   D. 1 ( )   3(3   1)  F x   C x  = -   + +  Câu   1 5 : Nguyên hàm ( ) F x   của 2  (2   3) 3   4  x   dx x   x          là:

Bài tập trắc nghiệm nguyên hàm, tích phân – Phạm Văn Sáu

Th.S Đ    -   Trư    Ph  - Gi  2  LOVEBOOK|   1   File Word liên h  -   dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com   -   s://www.facebook.com/dongpay  TÍCH PHÂN   H  N CH    MTCT  Câu 1:   Cho tích phân  2  2  1  I   2x   x   1dx        . Kh  ng đ  nh nào sau đây sai:  A.  3  0  I   udu       B.   2  I   27  3     C.  3 3  2  0  2  I   u  3     D.   I   3   3   Câu 2:   Giá tr    trung bình c  a hàm s        y   f   x    trên       a;b   , kí hi  u là       m f     c tính theo công th  c             b  a  1  m f   f   x dx  b   a           . Giá tr    trung bình c  a hàm s        f   x   s inx    trên       0;    là:  A.   2     B.   3     C.   1     D.   4    Câu 3:   C ho        2  0  f   x dx   5        . Khi đó        2  0  f   x   2 sin x .dx                b  ng:  A.   5      B.   5   2       C.   7   D.   3  Câu 4:   Gi    s   1   4   4  0   1   0  f (x)dx   2,   f (x)dx   3,   g(x)dx   4                 kh  ng đ  nh nào sau đây là sai ?  A.            4  0  f (x)   g x   dx   1        B.  4   4  0   0  f (x)dx   g(x)dx       C.  4   4  0   0  f (x)dx   g(x)dx        D.  4  0  f (x)dx   5    Câu 5:   Cho   2  1   0  I   cos x   3sin x   1dx           2  2   2 0  sin 2x  I   dx  (sinx   2)          Phát biểu nào sau đây sai ?  A.   1  14  I   9     B.   1   2 I   I    C.   2  3   3  I   2 ln   2   2        D.     Câu 6:   Cho tích phân        3  2  0  sin x  I   dx  1   cos2x            và đ  t   t   cosx    . Kh  ng đ  nh nào sau đây   sai:  A.  3  2  0  1   sin x  I   dx  4   cos x          B.  1  4  1  2  1   dt  I   4   t        C.  1  3  1  2  1  I   t  12       D.   7  I   12  Th.S Đ    -   Trư    Ph  - Gi  2  LOVEBOOK|   2   File Word liên h  -   dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com   -   s://www.facebook.com/dongpay  Câu 7:   Cho  1  2  0  (x   1) d x   a   b  x   2x   2                  . Khi   a   b    b  ng:  A.   5   B.   1   C.   2   D.   3  Câu 8:   Cho  a  1  x   1   dx   e  x         . Khi đó, giá tr    c  a a là:  A.   2  1   e    B.   e   C.   e  2   D.   2  1   e      Câu 9:   Cho tích phân   2  0  sin x  I   1   2   cos x                  , v  i   1    thì   I   b  ng:  A.   2     B.   2    C.   2   D.   2    Câu 10:   Cho  a  0  sin x   dx  sin x   cos x   4          . Giá tr    c  a a là  A.   3     B.   4     C.   2     D.   6    Câu 11:   Gi    s    A, B là các h  ng s    c  a hàm s    2  f (x)   A sin( x)   Bx          .   Bi  t   f '(1)   2    và  2  0  f (x)dx   4     . Giá tr    c  a B là  A.   1   B.   M  t đáp s    khác   C.   2   D.   3  2  Câu 12:   Tính tích phân:  5  1  dx  I   x   3x   1           c k  t qu    I   a ln 3   b ln 5       . Giá tr    2   2  a   ab   3b       là:  A.   4   B.   1   C.   0   D.   5  Câu 13:   Kh  ng đ  nh nào sau đây sai v    k  t qu   0  1  x   1   b  dx   a ln   1  x   2   c               ?  A.   a.b   3(c   1)       B.   ac   b   3       C.   a   b   2c   10          D.   ab   c   1      Câu 14:   Kh  ng đ  nh nào sau đây đúng v    k  t qu   1   3  4  0  x   1  dx   ln 2  x   1   a        ?  A.   a   2    B.   a   4    C.   a   4    D.   a   2   Câu 15:   Cho   f (x)   là hàm s    ch  n và liên t  c trên      th  a mãn  1  1  f (x)dx   2        . Khi đó giá tr    tích phân  1  0  f (x)dx    là:

Tích phân hạn chế máy tính cầm tay – Đặng Việt Đông

https://toanmath.com/  TÍCH PHÂN A. KI  N TH  N 1.   Cho   f   là hàm s    liên t  n   [ ; ]. a b   Gi    s    F   là m  t nguyên hàm c  a   f   trên   [ ; ]. a b   Hi  u s   ( )   ( ) F b   F a     c g  i là tích phân t    a    n   b   (hay tích phân xác định trên đoạ n [ ; ] a b   c  a hàm s    ( ), f   x kí hi  u là   ( )   .  b a f   x dx  Ta   dùng   kí   hi  u   ( )   ( )   ( )  b a F x   F b   F a =         ch    hi  u   s    ( )   ( ) F b   F a    .   V  y ( )   ( )   ( )   ( )  b   b a a f   x dx   F x   F b   F a =   =       .  Nh  n xét :   Tích phân c  a hàm s    f   t    a    n   b   có th    kí hi  u b  i   ( )  b a f   x dx    hay   ( )   .  b a f t dt    Tích phân     ph    thu  c vào   f   và các c  n   a ,   b   mà không ph    thu  c vào cách ghi bi  n s  .   c c  a tích phân : N  u hàm s    f   liên t  n [ ; ] a b   thì tích phân ( )  b a f   x dx    là di  n tích   S   c  a hình thang cong gi  i h  n b    th    hàm s    ( ) y   f   x =   , tr  c O x   và hai đườ ng th  ng   ,   . x   a x   b =   =   V  y   ( )   .  b a S   f   x dx =     2.Tính ch  t c  a tích phân  1.   ( )   0  a a f   x dx   =    2.   ( )   ( )  b   a a   b f   x dx   f   x dx = −     3.   ( )   ( )   ( )  b   c   c a   b   a f   x dx   f   x dx   f   x dx +   =          (   a   b   c <   <   )4.   .   ( )   .   ( )   (   )  b   b a   a k f   x dx   k   f   x dx   k =           5.   [   ( )   ( )]   ( )   ( )  b   b   b a   a   a f   x   g x   dx   f   x dx   g x dx    =             .  B. BÀI T  P    T VÀ B  NG NGUYÊN HÀM Câu 1:   Cho hàm s    ,   liên t  c trên   và s    th  c   tùy ý. Trong các kh  ng   nh sau, kh  nh nào sai?  A.   .  B.   .  C.   .  D.   .  Câu 2:   Kh  ng      sai?  (   ) y   f   x =   (   ) y   g   x =   [   ] ; a b   k  (   )   (   ) d   d  b   a a   b f   x   x   f   x   x = −      (   )   (   ) d   d  b   b a   a xf   x   x   x   f   x   x =      (   )   d   0  a a kf   x   x   =   (   )   (   )   (   )   (   ) d   d   d  b   b   b a   a   a f   x   g   x   x   f   x   x   g   x   x +   =   +               https://toanmath.com/  A.   .   B.   .  C.   .   D.   .  Câu 3:   Cho hai hàm số   và   liên tục trên   ,   . Khẳng định nào sau đây là khẳng    sai ?  A.   .   B.   .  C.   .   D.  .  Câu 4:   Cho hai   số thực   ,   tùy ý,   là một nguyên hàm của hàm số   trên tập   . Mệnh   A.   .   B.   .  C.   .   D.   .  Câu 5:   Cho   là hàm s    liên t  n   và   . Tìm m       trong các m    sau.  A.   .   B.   .  C.   .   D.   .  Câu 6:   Cho hàm s    liên t  c trên kho  ng   và   . M    nào sau đây sai?  A.   .   B.   .  C.   .   D.   .  Câu 7:   Cho hàm s    liên t  c trên   và   ,   là m  t nguyên hàm c  a   trên   . Ch  n kh  nh sai trong các kh  nh sau.  A.   .   B.   .  C.   .   D.   .  (   )   (   )   (   )   (   ) d   d d  b   b   b a   a   a f   x   f g   x   x   x   g   x   x x +   =   +                  (   )   (   )   (   ) d   d   d  b   b   c a   c   a f   x   x x   x   x f   f   x =   +         (   )   (   ) d   d  b   a a   b x f   x   f   x   x =       (   )   ( ) d   d  b   b a   a x f   f   t   t x   =      (   ) f   x   (   ) g   x   K   , a b   K   (   )   (   )   (   )   (   ) d   d   d  b   b   b a   a   a f   x   g   x   x   f   x   x   g   x   x +   =   +                  (   )   (   ) d   d  b   b a   a kf   x   x   k   f   x   x =      (   )   (   )   (   )   (   ) d   d .   d  b   b   b a   a   a f   x g   x   x   f   x   x   g   x   x =         (   )   (   )   (   )   (   ) d   d   d  b   b   b a   a   a f   x   g   x   x   f   x   x   g   x   x    =                    a   b   (   ) F   x   (   ) f   x     (   )   (   )   (   ) d  b a f   x   x   f   b   f   a =       (   )   (   )   (   ) d  b a f   x   x   F b   F   a =      (   )   (   )   (   ) d  b a f   x   x   F   a   F b =       (   )   (   )   (   ) d  b a f   x   x   F b   F   a =   +   (   ) f   x   [   ] ; a b   [   ] ; c   a b   (   )   (   )   (   ) d   d   d  c   b   a a   c   b f   x   x   f   x   x   f   x   x +   =          (   )   (   )   (   ) d   d   d  b   c   b a   a   c f   x   x   f   x   x   f   x   x +   =         (   )   (   )   (   ) d   d   d  b   c   c a   a   c f   x   x   f   x   x   f   x   x    =          (   )   (   )   (   ) d   d   d  b   a   b a   c   c f   x   x   f   x   x   f   x   x +   =         (   ) y   f   x =   K   , , a b c   K   (   )   (   )   (   ) d   d   d  b   b   c a   c   a f   x   x   f   x   x   f   x   x +   =          (   )   ( ) d   dt  b   b a   a f   x   x   f   t =      (   )   (   ) d   d  b   a a   b f   x   x   f   x   x = −       (   )   d   0  a a f   x   x   =   ( ) f   t   K   , a b   K    ( ) F t   ( ) f   t   K  (   )   (   )   ( )   d  b a F   a   F b   f   t   t    =      ( )   ( ) d  b   b a a f   t   t   F t =   ( )   ( ) d   d  b b a   a f   t   t   f   t   t      =               (   )   ( ) d   d  b   b a   a f   x   x   f   t   t =    

Bài tập trắc nghiệm tích phân có đáp án và lời giải

https://toanmath.com/  NGUYÊN HÀM   CƠ BẢ N A - KI  N TH    B  N 1. Nguyên hàm     Cho hàm s    (   ) f   x   xác đị nh trên   K   (   K   là kho  n hay n  a kho  ng). Hàm s   (   ) F   x    c g  i là nguyên hàm c  a hàm s    (   ) f   x   trên   K   n  u   (   )   (   ) ' F   x   f   x =   v  i m  i   x   K    .   nh lí:  1) N  u   (   ) F   x   là m  t nguyên hàm c  a hàm s    (   ) f   x   trên   K   thì v  i m  i h  ng s    C   , hàm s   (   )   (   ) G x   F   x   C =   +   cũng là mộ t nguyên hàm c  a   (   ) f   x   trên   K   . 2) N  u   (   ) F   x   là m  t nguyên hàm c  a hàm s    (   ) f   x   trên   K   thì m  i nguyên hàm c  a   (   ) f   x   trên  K    u có d  ng   (   ) F   x   C +   , v  i   C   là m  t h  ng s  .  Do      (   )   , F   x   C C +         là   h    t  t   c    các   nguyên   hàm   c  a   (   ) f   x   trên   K   .   Ký   hi  u  (   )   (   ) x f   x d   F   x   C =   +    .  2. Tính ch  t c  a nguyên hàm  Tính ch  t 1:   (   ) (   )   (   ) x f   x d   f   x      và   (   )   (   ) '   x f   x d   f   x   C =   +   Tính ch  t 2:   (   )   (   ) x   x kf   x d   k   f   x d =       v  i   k là h  ng s    khác   0   .  Tính ch  t 3:   (   )   (   )   (   )   (   ) x   x   x f   x   g   x   d   f   x d   g   x d    =                    3. S    t  n t  i c  a nguyên hàm   nh lí:   M  i hàm s    (   ) f   x   liên t  c trên   K    u có nguyên hàm trên   K   .  4. B  ng nguyên hàm c  a m  t s    hàm s    sơ cấ p Nguyên hàm c  a hàm s    sơ cấ p   Nguyên hàm c     (   ) (   ) u   u   x =  x d   x   C =   +    u d   u   C =   +   (   ) 1 1 x   1 1  x d   x   C        + =   +    +    (   ) 1 1 u   1 1  u d   u   C        + =   +    +  1   x   ln d   x   C x   =   +    1   u   ln d   u   C u   =   +  x x   x e d   e   C =   +    u u   u e d   e   C =   +   (   ) x   0,   1 ln  x x   a a d   C a   a a  =   +   >       (   ) u   0,   1 ln  u u   a a d   C a   a a  =   +   >    https://toanmath.com/  sin   dx   cos x x   C = −   +    sin   du   cos u u   C = −   +  cos xdx   sin   x   C =   +    cos udu   sin   u   C =   +  2 1   x   tan cos   d   x   C x   =   +    2 1   u   tan cos   d   u   C u   =   +  2 1   x   cot sin   d   x   C x   = −   +    2 1   u   cot sin   d   u   C u   = −   +   B - BÀI T  P D  NG 1:S    D  NG LÍ THUY  T Câu 1.   Trong các kh   (1): M  i hàm s    liên t  c trên   [   ] ; a b    o hàm trên   [   ] ; a b   . (2): M  i hàm s    liên t  c trên   [   ] ; a b    u có nguyên hàm trên   [   ] ; a b   . (3): M  i hàm s     o hàm trên   [   ] ; a b    u có nguyên hàm trên   [   ] ; a b   . (4): M  i hàm s    liên t  c trên   [   ] ; a b    u có giá tr    l  n nh  t và giá tr    nh    nh  t trên   [   ] ; a b   .  A.   2   .   B.   3   .   C.   1 .   D.   4   .  Câu 2.   Cho hai hàm s    (   ) f   x   ,   (   ) g   x   liên t  c trên      . Trong các m    sau, m    nào sai?  A.   (   )   (   )   (   )   (   ) d   d   d f   x   g   x   x   f   x   x   g   x   x +   =   +                  .  B.   (   )   (   )   (   )   (   ) .   d   d .   d f   x   g   x   x   f   x   x   g   x   x =                  .  C.   (   )   (   )   (   )   (   ) d   d   d f   x   g   x   x   f   x   x   g   x   x    =                     .  D.   (   )   (   ) d   d kf   x   x   k   f   x   x =       (   ) 0; k   k          .  Câu 3.   Cho   (   ) f   x   ,   (   ) g   x   là các hàm s    xác đị nh và liên t  c trên      . Trong các m    sau, m  nh     nào sai?  A.   (   )   (   )   (   )   (   ) d   d .   d f   x g   x   x   f   x   x   g   x   x =          .   B.   (   )   (   ) 2   d   2   d f   x   x   f   x   x =       .  C.   (   )   (   )   (   )   (   ) d   d   d f   x   g   x   x   f   x   x   g   x   x +   =   +                  .   D.  (   )   (   )   (   )   (   ) d   d   d f   x   g   x   x   f   x   x   g   x   x    =                     .  Câu 4.   Kh  nh nào sau    nh sai?  A.   (   )   (   ) d   d kf   x   x   k   f   x   x =       v  i   k         .  B.   (   )   (   )   (   )   (   ) d   d   d f   x   g   x   x   f   x   x   g   x   x +   =   +                  v  i   (   ) f   x   ;   (   ) g   x   liên t  c trên      .  C.   1 1 d   1  x   x   x     + =   +    v  i   1     .  D.   (   ) (   )   (   ) d f   x   x   f   x      .  Câu 5.   Cho hai hàm s    (   ) f   x   ,   (   ) g   x   là hàm s    liên t  c, có   (   ) F   x ,   (   ) G x   l  t là nguyên hàm c  a   (   ) f   x   ,   (   ) g   x   . Xét các m    sau:  (   ) I   .   (   )   (   ) F   x   G x +   là m  t nguyên hàm c  a   (   )   (   ) f   x   g   x +   .  (   ) II   .   (   ) . k F   x   là m  t nguyên hàm c  a   (   ) . k f   x   v  i   k        (   ) III   .   (   )   (   ) . F   x   G x   là m  t nguyên hàm c  a   (   )   (   ) . f   x   g   x . Các m       là

Nguyên hàm - tích phân